Existenz einer Differentialform prüfen

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Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz einer Differentialform prüfen
Meine Frage:
Guten Morgen. Die Klausur ist sehr nah und mein Wissen zum Thema Differentialformen sehr unnützlich.

Zu untersuchen ist für welche der folgenden Differentialformen gilt. Schließen Sie daraus auf die Existenz oder Nichtexistenz einer Differentialform mit und bestimmen Sie diese gegebenfalls.





Meine Ideen:
Nun wie erwähnt ist mein Verständnis sehr schlecht.

Zu der a)





Da existiert kein mit da sonst gelten müsste.

Ich verstehe leider die Rechenregeln dafür nicht unglücklich Genauso irgendwie, wenn man etwas vertauscht ändern sich die Vorzeichen und dann wird etwas Null und und und...

Bei b)





Nach Poincare existiert



Da ja: gilt.

Ich verstehe einfach das ganze Konzept nicht. Das d steht doch immer für die Ableitung? Es wird dann jeweils nach dem jeweiligen dx bzw. dy dz abgeleitet, aber ich verstehe nicht das System dahinter. Es kommt mit Sicherheit in der Klausur vor und ich sehe mich schon wieder scheitern unglücklich .

Danke für Eure Hilfe und Zeit.

Danny.
Alfred Gäbeli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Hallo. Ich verstehe auch (noch) nicht allzuviel von Differentialformen. Da sich deiner aber noch kein Fachmann angenommen hat, gebe ich einfach mal meinen Senf dazu. Vieleicht hilfts ja verwirrt

Zitat:
Ich verstehe leider die Rechenregeln dafür nicht unglücklich Genauso irgendwie, wenn man etwas vertauscht ändern sich die Vorzeichen und dann wird etwas Null und und und...




Diese Eigenschaft nennt man alternierend.

Zitat:
Ich verstehe einfach das ganze Konzept nicht. Das d steht doch immer für die Ableitung?


Es handelt sich hier um die sogenannte Cartan-Ableitung. Also die äussere Ableitung.

Differentialformen brauchen viel Zeit, bis man sie vollständig versteht. für die Theorie wäre es nützlich zu verstehen was eine Algebra ist. Schau dir mal folgenden Link an.
http://de.wikipedia.org/wiki/Gra%C3%9Fmann-Algebra

das Addendum meines Analysis profs ist auch nicht schlecht.
Schau dir mal das letzte Kapitel an.
http://www.math.ethz.ch/~jteichma/commen...h1-9_130529.pdf

Weiter kann ich dir leider, obowhl ich gerne würde, nicht weiterhelfen.
Doch mit etwas Geduld findest du hier bestimmt Hilfe smile
 
 
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Danke Alfred Gäbeli ich lese es mir aufmerksam durch.

Zitat:
Original von Alfred Gäbeli
Doch mit etwas Geduld findest du hier bestimmt Hilfe smile


Das hoffe ich doch sehr, denn ich will wenigstens wissen, was ich tun müsste um die Aufgaben zu lösen.

Liebe Grüße

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Die Rechenregel, die du hier anwenden musst, ist folgende: Für eine Funktion und eine Differentialform gilt

In der a) hast du z.B. und . Nun ist und um zu bestimmen, erinnern wir uns an

wobei der Index partielle Ableitungen bezeichne. Das wurde uns z.B. schon früh als "totales Differential" angeschrieben.
In unserem Beispiel ist (da hast du einen falschen Faktor). Wir merken, dass unwichtig ist, denn mit haben wir

Im Spezialfall also .

Die nächstwichtigsten Rechenregeln sind also folgende:

und

Dann wäre da noch .

Trifft das in etwa die Frage?
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Che Netzer
Die Rechenregel, die du hier anwenden musst, ist folgende: Für eine Funktion und eine Differentialform gilt


Okay. Aber was sagt mir das? Bzw. was bedeuten die einzelnen Sachen konkret (was verbirgt sich dahinter)? f ist unsere Funktion, das Dach steht für das Dachprodukt und das d und das omega bedeuten konkret was?

Zitat:
Original von Che Netzer
In der a) hast du z.B. und . Nun ist und um zu bestimmen, erinnern wir uns an

wobei der Index partielle Ableitungen bezeichne. Das wurde uns z.B. schon früh als "totales Differential" angeschrieben.
In unserem Beispiel ist (da hast du einen falschen Faktor). Wir merken, dass unwichtig ist, denn mit haben wir

Im Spezialfall also .

In der a) habe ich doch aber du wo ist denn das dx hin und der restliche Teil?
Wieso ist jetzt ?

"Wir merken, dass unwichtig ist, denn mit " Ja das ist mir als Vokabel so bekannt, aber wie komme ich dazu in der Aufgabe. Die Rechenschritte hier sind mir nicht ganz klar:


Der Anfang ist mir nicht klar

Was wende ich hier an?

Zitat:
Original von Che Netzer
Die nächstwichtigsten Rechenregeln sind also folgende:

und

Dann wäre da noch .

Trifft das in etwa die Frage?


Joa. Wenn ich sie bei einer Aufgabe auftreffen würde, wüsste ich jetzt, was dies ergibt. Meine Probleme sind wie du wohl merkst sehr groß unglücklich sry

Danke

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Danny 1994
und das d und das omega bedeuten konkret was?

Das ist in gewisser Weise eine Ableitung.
Ich würde da als erstes an reelle Funktionen denken. Wenn ein solches z.B. als Ableitung hat, heißt das

oder "umgestellt"

In diesem steckt also gewissermaßen die Ableitung von .
Im Zweidimensionalen ist es wie gesagt

Das kannst du dir wie beim Gradienten vorstellen: Dort steckten die partiellen Ableitungen als Koeffizienten in einem Vektor bzw. waren Vorfaktor der Einheitsvektoren – hier stehen die partiellen Ableitungen vor den Differentialen und .

Zitat:
In der a) habe ich doch aber du wo ist denn das dx hin und der restliche Teil?
Wieso ist jetzt ?

Das war vielleicht schlecht gewählt, das ist nicht dasselbe wie in der Aufgabenstellung. Du könntest

mit , , und schreiben.
Dann ist

Ich hatte nur beispielhaft den ersten Summanden behandelt.

Zitat:
Der Anfang ist mir nicht klar

Da ist natürlich ein Hütchen verschwunden, ich meinte .
Allgemein ist es ja

aber es ist und wir setzen ein.
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
Original von Danny 1994
und das d und das omega bedeuten konkret was?

Das ist in gewisser Weise eine Ableitung.
Ich würde da als erstes an reelle Funktionen denken. Wenn ein solches z.B. als Ableitung hat, heißt das

oder "umgestellt"

In diesem steckt also gewissermaßen die Ableitung von .
Im Zweidimensionalen ist es wie gesagt


Oaaah, super genau das war mir nicht klar, ob es so gemeint ist. Danke, danke Freude In keinem Arens, Forster oder Sonstigem Lehrwerk habe ich das gefunden.

Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
In der a) habe ich doch aber du wo ist denn das dx hin und der restliche Teil?
Wieso ist jetzt ?

Das war vielleicht schlecht gewählt, das ist nicht dasselbe wie in der Aufgabenstellung. Du könntest

mit , , und schreiben.
Dann ist

Ich hatte nur beispielhaft den ersten Summanden behandelt.

Okay. Jetzt sehe ich es auch, dass du nur den ersten Summanden behandelt hast. Das spielt mir in die Karten, wie du das gewählt hast, dann weiß man was was ist.

Also:

Da hast du die allgemeine Definition angewendet sprich:

Wieso sind jetzt die zwei Summanden Null? verwirrt Du meintest vorhin, dass ist und dass man einsetzt? Passiert das jetzt? Ich sehe es leider nicht.

Ahso und da ist fallen die zwei Summanden weg, richtig?

Danke

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Danny 1994
Wieso sind jetzt die zwei Summanden Null? verwirrt Du meintest vorhin, dass ist und dass man einsetzt? Passiert das jetzt?

Ja, das passiert jetzt. Denn es ist , also und "zwei s hintereinander sind Null".
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Okay dann leuchtet der Teil ein.



Jetzt könnte ich es umdrehen und das Vorzeichen ändern, das macht jedoch keinen Sinn. Wie schreite ich weiter vor?

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Jetzt setzt du ein. Und analog für .
Dann kannst du die Terme mit und streichen.
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Jetzt setze ich ein. Und für auch.



"Dann kannst du die Terme mit und streichen."

Aber wie komme ich dazu? Wenn ich das ausmultipliziere erhalte ich doch nicht dies?

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Doch, es ist ja und .
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Ouh ja sry.



Jetzt könnte ich die Funktionen einsetzen und ableiten, wie in der Lösung, aber ich verstehe das Argument nicht wieso es ungleich Null ist und das somit keine Differentialform ist.

Danke, Danny.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Fass das Ergebnis doch mal zusammen (hier brauchst du die Antikommutativität des Dachprodukts).
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zusammenfassen, okay. Ich verstehe diese Summenformeln jedoch nicht. Könntest du mir bitte die Regeln an Beispielen illustrieren? Das wäre gut, weil sonst weiß ich nicht wie ich das machen soll unglücklich

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Welche Summenformeln? verwirrt D.h. welche Regeln möchtest du illustriert sehen?
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Naja alle die ich so gebrauchen könnte Antikommutativität:
Assoziativität:

Und sonst noch welche man braucht, aber in Dachproduktform, das verwirrt mich immer.

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Hm... Dann erstmal die allgemeinen Gleichungen: Es sei eine Funktion und , , und seien Differentialformen (passender Art).
Dann gelten folgende Gleichungen:

Die ersten beiden Gleichungen sind ja nur die Bilinearität, die ist vermutlich klar.
Die zweite ist die Antiysmmetrie. Für und ist also

In drei Variablen hat man z.B.

Die vierte Gleichung folgt mit aus der ersten und ergibt im Beispiel

(bei Variablen kann ein nicht verschwindendes Dachprodukt also aus maximal "einzelnen Differentialen" (Eins-Formen) bestehen)
Gleichung 5 hast du ja schon selbst angewandt. Ist , so ergibt sich natürlich und damit

was ja sinnvoll ist.
Die sechste heißt "zwei s hintereinander ergeben Null".
Man kann das mit der vorigen Gleichung kombinieren, um schön zu berechnen, wenn z.B. vorliegt.
Und das letzte ist bloß die Linearität von .
Bemerke auch, dass für konstantes gilt, da linear ist – aber wenn man "punktweise Konstanten", also Funktionen herausziehen möchte, ginge bei etwas verloren.
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Wow. Freude Danke.



Aber was bringt mir die Antikommutativität? Wenn ich diese verwende erhalte ich doch:



Was ist die Quintessenz?

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Du solltest sie aber nur einmal anwenden, damit du die beiden Ausdrücke zusammenfassen kannst – zur Form "Funktion mal " bzw. "Funktion mal ".
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Einmal ups. Hm.



So. Zusammenfassen? Kann ich das nach (7) ausklammern, oder wie ist das Zusammenfassen gemeint?

Danny
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Oder nach (2)?



Funktion mal dy ^ dx, o meinst du es?

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Danny 1994

Hier fehlen allerdings noch Klammern.
Jetzt musst du untersuchen, ob ist. In dem Fall (und genau dann) wäre .
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
Original von Danny 1994

Hier fehlen allerdings noch Klammern.

Die Klammern verwirrt Ah.

Zitat:
Original von Che Netzer
Jetzt musst du untersuchen, ob ist. In dem Fall (und genau dann) wäre .


Muss ich jetzt die Ableitung von f und g bilden und zeigen, dass diese ungleich Null sind? Was anderes wüsste ich jetzt nicht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Danny 1994
Muss ich jetzt die Ableitung von f und g bilden und zeigen, dass diese ungleich Null sind? Was anderes wüsste ich jetzt nicht.

Das ist jetzt der einfache Teil. Du hast zwei Funktionen und gegeben und sollst bilden.
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Che Netzer
Das ist jetzt der einfache Teil. Du hast zwei Funktionen und gegeben und sollst bilden.


Also und summa summarum

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Ja, wobei du meinst...
Jetzt hast du also
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer Differentialform prüfen
Zitat:
Original von Che Netzer
Ja, wobei du meinst...

Ja entschuldige hast Recht.

Zitat:
Original von Che Netzer
Jetzt hast du also


Genau wenn ich dann mein [l]-f_y [/]und [l]g_x[/] einsetze, dann das Antikommutativgesetz verwende erhält man das. Und weil es nicht Null ergibt, sprich sich alles kürzt und zu Null auflöst ist es keine Differentialform? Wenn es alles wegfallen würde bzw. sich aufheben würde zur Null, dann hätte man eine Differentialform?

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was versteht ihr denn unter "Differentialform"? verwirrt
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich? Leider nicht viel, würde dir gerne eine aussagekräftige Antwort geben, aber dazu bin ich leider nicht in der Lage unglücklich So sehr ich es mir erträume. Gehöre leider zu denen, die sich den Stoff 4 mal öfter anschauen müssen um dran zu bleiben, es gelingt mir auch nur bedingt mitzuhalten, trotz des Fleißes.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte eher die Definition. Jedes aus der Aufgabenstellung ist eine Differentialform. Auch wenn nicht gilt (dann hieße geschlossene Differentialform).
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es wird wohl die übliche Definition sein. Wir hatten das Dachprodukt, die Pfaffsche Form, 1-Formen bzw. Differentialformen 1. Ordnung, das totale Differential, Ableitungen und das Poincaresche Lemma, welches für die zweite Teilaufgabe wichtig ist sprich:

Ist offen und sternförmig, so existiert zu jedem mit ein , so dass gilt:



Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sagst du dann, dass keine Differentialform sei, weil ?
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich da wohl missverständlich ausgedrückt, sry. Ich habe wohl fälschlicherweise angenommen, dass wenn ist es dann keine Differentialform ist Hammer sry. Mit dem Poincareschen Lemma prüft man dann auf die Existenz bzw. Nichtexistenz der Differentialform.

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

"der Differentialform"? Das klingt auch nicht schön... Es wird die Existenz einer Differentialform mit überprüft.
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Joa das ist natürlich vollkommend Big Laugh Und wie ginge das, wenn man mal so experimentierfreudig ist, diese auf Existenz bzw. Nichtexistenz zu prüfen? :P
Eigentlich kann man ja aufgrund des Lemmas behaupten, dass wenn , dann existiert keine Differentialform der Form ? Aber das ist doch die gleiche Aussage von mir wie eben verwirrt

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Danny 1994
Eigentlich kann man ja aufgrund des Lemmas behaupten, dass wenn , dann existiert keine Differentialform der Form ?

Das gilt zwar tatsächlich, aber aus dem Lemma folgt das nicht. (außer ihr habt dazu eine "genau dann, wenn"-Aussage formuliert)

Zitat:
Aber das ist doch die gleiche Aussage von mir wie eben verwirrt

Wo hast du das eben ausgesagt?
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
Original von Danny 1994
Eigentlich kann man ja aufgrund des Lemmas behaupten, dass wenn , dann existiert keine Differentialform der Form ?

Das gilt zwar tatsächlich, aber aus dem Lemma folgt das nicht. (außer ihr habt dazu eine "genau dann, wenn"-Aussage formuliert)


Hm. Die Aussage ist so wie ich sie eben verfasst habe. Wie denn dann?

Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
Original von Danny 1994
Aber das ist doch die gleiche Aussage von mir wie eben verwirrt

Wo hast du das eben ausgesagt?


Ja so präzise habe ich das eben nicht formuliert :P

Danny
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Danny 1994
Hm. Die Aussage ist so wie ich sie eben verfasst habe. Wie denn dann?

Üblicherweise sagt das Lemma: WENN (und auf einem sternförmigen Gebiet lebt), DANN gibt es ein mit .

Zitat:
Ja so präzise habe ich das eben nicht formuliert :P

Das wäre aber nötig gewesen Augenzwinkern
Danny 1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer
Üblicherweise sagt das Lemma: WENN (und auf einem sternförmigen Gebiet lebt), DANN gibt es ein mit

Gut. Damit wäre das geklärt Augenzwinkern

Zitat:
Original von Che Netzer
Zitat:
Ja so präzise habe ich das eben nicht formuliert :P

Das wäre aber nötig gewesen Augenzwinkern

Dafür gibt es zum Glück Menschen, die einen darauf aufmerksam machen und hoffentlich durch ihre guten Taten im Leben belohnt werden Gott



Bei der b) weiß ich nicht so Recht was und vor allem wie ich loslegen soll verwirrt

Danny
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