Grenzwertrechnung

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Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertrechnung
Meine Frage:
Ich muss die Grenzwerte folgender Folgen angeben für n gegen unendlich:



und



Meine Ideen:
Beim ersten komme ich auf:

doch danach komme ich nicht weiter?

Und beim zweiten setze ich (-2/7)^0 = 1, und damit hat diese Folge für mich keinen Grenzwert, weil q>=1 stimmt das?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bist Du Dir ganz sicher, dass ?

Wenn Du den Grenzwert nur angeben sollst, dann überleg Dir doch einfach, ob der Zähler oder Nenner schneller wächst.

Für die Reihe solltest Du das Stichwort geometrische Reihe nachschlagen.
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

sry, Tippfehler. Natürlich soll das eine 8 sein.

Ich weiss, dass der Nenner schneller wächst, denn schon ab n=2 ist der Nenner grösser als der Zähler.
Nur was sagt das über meinen Grenzwert aus, wenn der Nenner schneller wächst und n gegen unendlich geht? Heisst das, der Grenzwert selber ist unendlich?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm Dir einfach mal ein Beispiel, in dem der Zähler langsamer als der Nenner wächst.

usw. was passiert mit diesem Brüchen? Was wird passieren, wenn Du das immer weiter führst?

Falls Dir noch nicht klar ist, in welche Richtung das geht: Denk Dir irgendeine Zahl z.b. 3 und nimm immer wieder davon.
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Brüche werden immer wie "kleiner" und kleiner und gehen nach 0 aber werden nie 0! Also ins unendliche. Korrigiere mich, wenn ich falsch liege. Lehrer
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

*gehen gegen 0, nicht "nach"
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, sie werden immer kleiner und da sie trotzdem positiv sind, ist der Grenzwert der Folge somit 0.
Da Du das ganze im Hochschulbereich gepostet hast, wird vermutlich auch noch ein Beweis erforderlich sein. Hierzu kannst Du entweder das Quotientenkriterium oder das Majorantenkriterium verwenden.
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke vielmals Freude hat mir echt geholfen
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es bei der Aufgabe b) dasselbe?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe oben:

Zitat:
Original von Helferlein

Für die Reihe solltest Du das Stichwort geometrische Reihe nachschlagen.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Richtig, sie werden immer kleiner und da sie trotzdem positiv sind, ist der Grenzwert der Folge somit 0.


Diese Schlussfolgerung ist im Allgemeinen falsch!
Es gibt nämlich beliebig viele nichtnegative, monoton fallende Folgen mit Grenzwert ungleich Null!
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn die Schlussfolgerung davon? Für mich macht der Grenzwert 0 irgendwie auch Sinn verwirrt

Bei der Aufgabe b) habe ich herausbekommen: 1/(1+2/7) = 7/9, ich nehme an, das stimmt wenigstens smile
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Veysel1990
Was ist denn die Schlussfolgerung davon? Für mich macht der Grenzwert 0 irgendwie auch Sinn verwirrt

Der Grenzwert ist ja auch 0 - das stimmt natürlich.
Um das zu zeigen, genügt es aber nicht einfach nur auf Beschränktheit und monotones Fallen hinzuweisen,
wie Du an dieser beschränkten und monoton fallenden Folge sehen kannst:



Zitat:
Original von Veysel1990
Bei der Aufgabe b) habe ich herausbekommen: 1/(1+2/7) = 7/9, ich nehme an, das stimmt wenigstens smile

Ja, das Ergebnis stimmt!
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Wie schon von Helferlein geschrieben, müsste ich dies jetzt noch mit dem Quotientenkriterium beweisen oder nicht?
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Siehe oben:

Zitat:
Original von Helferlein

Für die Reihe solltest Du das Stichwort geometrische Reihe nachschlagen.


Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe, die lautet:



Ich weiss nicht, wie ich diese Aufgabe anwenden kann:

Ich habs mal so versucht:
= 1/2

Das scheint mir aber völlig falsch zu sein unglücklich Wie kann ich die Regel hier am besten anwenden?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest zum Beispiel ausnutzen, dass und dann eine Indexverschiebung vornehmen.
Oder Du setzt die Reihe aus zwei Summen zusammen, von denen eine eine geometrische Reihe ist.

Zum Einwand von grautvornix: Prinzipiell ist es natürlich richtig, dass aus Monotonie und Beschränktheit erst einmal nur die Konvergenz folgt. Mein Ziel war es jedoch, dass Du ein Gefühl dafür gewinnst, wie man zu einer Vermutung des Grenzwertes kommen kann. Beweisen musst Du ihn dann sowieso noch separat.
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Wie geht man bei der Indexverschiebung den vor?

Das habe ich so noch nie gesehen und angewendet. Könntest du mir das mal kurz zeigen Lehrer
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du führst einfach einen neuen Index ein, der bei Null startet. Dieser muss also um 2 kleiner sein als k. Danach passt Du den Index in der Summe entsprechend an den neuen Wert an.
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habs mal so versucht:



stimmt das so? Ich habe einfach am Anfang für k=2 eingesetzt, dann 3, 4 etc.
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