Rekursive Folge

07.10.2013, 20:12

Veysel1990

Rekursive Folge

Meine Frage:
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Als Startwert der rekursiven Folge wählen wir eine positive Zahl a0, die grösser ist als $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ . Weiter sei:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 1/2(a_{n} + (5/a_{n})) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man durch voll. Induktion zeigen, dass die Folge a0 monoton fallend und Wurzel 5 nach unten beschränkt ist. Zudem muss man aufzeigen, dass die Folge konvergiert und ihren Grenzwert bestimmen.

Meine Ideen:
Zum Anfang habe ich versucht, den Grenzwert zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 1/2(a_{n} + (5/a_{n})) \end{eqnarray*}$

Durch Quadrieren und gleichnennrig machen habe ich bekommen: $\begin{eqnarray*} a_{n}+5 \end{eqnarray*}$ , also den Grenzwert 5? Habe ich damit schon die Konvergenz der Folge bewiesen? Wenn ihr mir da auf die Sprünge helfen könnt, würde ich mich mal langsam an die Induktion heranwagen=))

07.10.2013, 20:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Veysel1990
Durch Quadrieren und gleichnennrig machen habe ich bekommen: $\begin{eqnarray*} a_{n}+5 \end{eqnarray*}$ , also den Grenzwert 5?

Unverständlich - durch und durch. unglücklich

Zitat:

Original von Veysel1990
Habe ich damit schon die Konvergenz der Folge bewiesen?

Nein - auch dann nicht, wenn der obige Satz vernünftig formuliert wird.

Du hast doch die Marschroute schon vorgegeben (wenn auch wieder von dir schlampig formuliert):

Zitat:

Original von Veysel1990
Jetzt muss man durch voll. Induktion zeigen, dass die Folge a0 monoton fallend und Wurzel 5 nach unten beschränkt ist.

Ist beides gezeigt, dann ist die Konvergenz der Folge nachgewiesen (also nix mit "zudem" im Folgesatz).

07.10.2013, 20:24

Veysel1990

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hmm ok

, wie geh ich dann da am besten vor, denn es ist doch:

$\begin{eqnarray*} a_{n} >a_{n+1} >\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich denn $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ herausfinden? Oder wie gehe ich da am besten vor?

08.10.2013, 10:26

Grautvornix

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Zitat:

Original von Veysel1990
Oder wie gehe ich da am besten vor?

1. Zeige zunächst, dass die Folge überhaupt konvergiert.
2. Anhand der Rekusionsformel kannst Du dann den Grenzwert berechnen.

Zu 1: Zeige, dass die Folge konvergiert.

- Folgere die Konvergenz aus Beschränktheit und Monotonie

- Zeige zunächst die Beschränktheit nach unten durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ .

Du kannst dazu die Ungleichung zw. arith. und geom. Mittel nutzen.

- Schreibe dann

$\begin{eqnarray*} a_n-a_{n+1}=\frac{a_n^2-5}{2a_n} \end{eqnarray*}$

und folgere mit der zuvor gezeigten Beschränktheit die Monotonie.

Zu 2: Um die Konvergenz wissend, wende nun die Grenzwertsätze auf die Rekursionsformel an, um den Grenzwert zu berechnen.

Sei $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=:a. \end{eqnarray*}$

Dann folgt mittels GWS aus der Rekursionsformel diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{a^2+5}{2a} \end{eqnarray*}$

die Du nun einfach nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auflösen kannst.

08.10.2013, 14:29

Veysel1990

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Zuerst einmal vielen Dank für deinen Beitrag smile

Ich verstehe die Schritte jetzt besser, nur verstehe ich nicht ganz, wie du auf:

$\begin{eqnarray*} (a^2_{n}-5)/(2a_{n}) \end{eqnarray*}$

gekommen bist. Hast du diesen Umstand aus der Bernouilli-Gleichung abgeleitet?

Ich versuche unterdessen mal, mit dem weiterzurechnen Lehrer

08.10.2013, 14:37

HAL 9000

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Was denn für eine Bernoulli-Gleichung? Die aus der Strömungslehre? smile

Nein, schlicht und einfach die gegebene Rekursionsgleichung einsetzen, und anschließend alles auf einen gemeinsamen Bruchstrich bringen!

$\begin{eqnarray*} a_n-a_{n+1} &=& a_n - \frac{1}{2}\left( a_n + \frac{5}{a_n} \right) = \frac{a_n}{2} - \frac{5}{2a_n} = \ldots \end{eqnarray*}$

EDIT: Peinlich, habe ich mich doch beim Herrn Bernoulli verschrieben - korrigiert.

08.10.2013, 14:41

Veysel1990

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no comment
werde mich wieder melden, falls ich probleme bekomme Freude

08.10.2013, 21:46

Veysel1990

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ok, habe nun die Gleichung nach a aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} 2a^3-a^2-5=0 \end{eqnarray*}$

Bei einer kubischen Gleichung muss man aber die 1. "Nullstelle" raten, was mir hier ein bisschen schwer fällt. Ich komme nämlich auf ca. 1.54545454 Periode

habe ich da was falsch gemacht?

08.10.2013, 21:54

magic_hero

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Zitat:

Original von Veysel1990
ok, habe nun die Gleichung nach a aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} 2a^3-a^2-5=0 \end{eqnarray*}$

[...]

habe ich da was falsch gemacht?

Ja, du hast dich verrechnet. Die Potenz mit dem Exponent 3 stimmt nicht. Rechne noch mal nach.

08.10.2013, 22:31

Veysel1990

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hab beim 2a^2 gesehen statt 2a, liegt wohl an der Uhrzeit Big Laugh

Die Lösung ist ja bekanntlich dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ Gott

Gibt es demnach nur einen Grenzwert, der gleichzeitig die Folge nach unten beschränkt? Habe ich das so richtig verstanden?

08.10.2013, 22:41

magic_hero

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Zitat:

Original von Veysel1990
Gibt es demnach nur einen Grenzwert, der gleichzeitig die Folge nach unten beschränkt? Habe ich das so richtig verstanden?

In diesem Fall ja.

Generell muss es bei solchen rekursiv definierten Folgen aber aufpassen. Der Grenzwert könnte auch negativ sein. Hier wäre das der Fall, wenn man einen entsprechenden Startwert wählt (denn eine andere Lösung der obigen quadratischen Gleichung ist ja $\begin{eqnarray*} - \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ).
Im Allgemeinen muss ein Grenzwert eine Folge auch nicht nach unten (oder oben) beschränken, das ist hier eben wegen der Monotonie der Fall.

08.10.2013, 22:52

Veysel1990

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perfekt, danke, habe die rekursiven Folgen jetzt besser verstanden

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