Ableitung von Exponentialfunktionen an der Stelle x=0

07.10.2013, 20:31	Limes346	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von Exponentialfunktionen an der Stelle x=0 Meine Frage: Vorab.. ich bin echt kein Mathe - Genie , aber auch nicht schlecht in Mathe, jedoch verstehe ich, vorallem in letzter Zeit viele Dinge die wir durchnehmen teilweise nicht. Es geht um die Ableitung von Exponentialfunktionen an der Stelle x = 0 Wir haben nun eine Tabelle dargestellt. In der ersten Spalte steht f(x)= $\begin{eqnarray} 0,5^x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 1^x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 1,5^x \end{eqnarray}$ ... bis $\begin{eqnarray} 3^x \end{eqnarray}$ . Die zweite spalte [f'(0)] ist leer. Unsere aufgabe natürlich , die Steigungen zu bestimmen. Nun fingen wir im Unterricht berreits mit $\begin{eqnarray} 0,5^x \end{eqnarray}$ an. Dazu stellten wir erstmal die beiden Punkte (0/1) und (1/0,5) herraus. Unsere Lehrerin sagte uns wir sollten den Differenzenquotienten bilden. gesagt getan, wir kamen auf -1/2 Dann fing meine Lehrerin an, folgendes an die Tafel zu schreiben: $\begin{eqnarray} \Rightarrow f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{1-0,5^h}{0-h} <br /> = \lim_{h \to 0} \frac{1-0.5^h}{-h} \end{eqnarray}$ dann fingen wir an für h werte einzusetzen (z.b: 0,1 .. 0,01).. und kamen so schließlich auf f'(0) = -0,7 (ungefähr) Nun bin ich aber ganz verwirrt... Wie kam meine Lehrerin auf die gleichung, welche sie uns an die Tafel geschrieben hat ? :o für mich lief dass alles zu schnell und ich wüsste gern die einzelheiten dazu, und tipps, wie ich die weiteren gleichungen lösen kann. Außerdem würde ich gerne wissen, wofür der Differenzenquotient am anfang nötig war ? :/ Wäre sehr dankbar für eine Anwtort MfG Meine Ideen: müsste das Tafelbild meiner Lehrerin , nach der allg. formel, nicht so lauten ? : $\begin{eqnarray} \Rightarrow f'(0)= \lim_{h \to 0} \frac{0,5^h-1}{h} \end{eqnarray}$
08.10.2013, 00:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, eigentlich müsste im Nenner $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ stehen, denn man beginnt immer mit jener Stelle, für die der Grenzwert zu berechnen ist. Hier ist es die Stelle 0, die anderen x-Werte streben gegen diese, d.h. sie haben von ihr den Abstand h. Im Zähler steht dann $\begin{eqnarray} f(0 + h) - f(h) \end{eqnarray}$ , das ist $\begin{eqnarray} 0,5^h - 1 \end{eqnarray}$ , richtig! Wenn du allerdings deine zuletzt geschriebene Formel mit jener im Tafelbild sorgfältig vergleichst, könntest du feststellen, dass beide Ausdrücke ident sind. Es ist lediglich der Zähler und Nenner mit (-1) multipliziert, also der Bruch mit (-1) erweitert. mY+

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