[WS] Polynomdivision

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[WS] Polynomdivision
In diesem Workshop möchte ich in die Polynomdivision einführen: Polynomdivision - was ist das überhaupt? Wie funktioniert das? Wozu soll ich mir den ganzen Aufwand antun? Wann darf ich überhaupt "polynomdividieren"?

Diese und mehr Fragen werde ich in der Folge beantworten

Als erstes werden die notwendigen Voraussetzungen betrachtet: Polynomdivision - Was ist das? Und wozu?

Im Anschluss daran wiederhole ich das Schema der "normalen" schriftlichen Division: Das Prinzip der Division

Danach wird diese Division verallgemeinert: Polynomdivision

Der vierte Punkt fasst das vorher gesagte kurz und bündig zusammen: Das Schema F

Zuletzt werden noch zwei typische Anwendungsbeispiele durchgerechnet: Anwendungen und Beispiele
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1.Polynomdivision - Was ist das? Und wozu?
Die Polynomdivision ist ein Rechenvorgang, der die Division beliebiger Polynome durcheinander erlaubt. Dies erfordert einige Voraussetzungen:

Zunächst muss die Funktion einmal die passende Gestalt haben
Polynomdivision kann man anwenden, wenn die Funktion/ der Term die folgende Gestalt hat:

, wobei und differenzierbare Polynomfunktionen sein müssen.
Eine weitere Bedingung an die beiden Teilfunktionen ist die, dass der Grad von größer oder gleich groß als der Grad von sein muss.

Worauf basiert die Polynomdivision eigentlich?
Der Grundgedanke der Polynomdivision ist die Zerlegung eines Terms n-ten Grades in n Linearfaktoren. Betrachten wir eine Funktion , von der wir wissen, dass sie den Linearfaktor enthält. Die Funktion hat also die Gestalt
Wie können wir nun den Rest bestimmen? Sei die Funktion in ausmultiplizierter und zusammengefasster Form. Der Rest ergibt sich gemäß der obigen Darstellung durch die Division durch den Linearfaktor: . Man wird mir vorwerfen, dass für immer eine Division durch Null erfolgen muss - richtig. Deswegen ist der Definitionsbereich auch um a vermindert, d.h. . Deshalb laufen wir auch nie Gefahr, bei einer Polynoomdivision durch Null zu teilen, auch wenn wir Unbekannte verwenden müssen.


Wann darf ich eine Polynomdivision anwenden?
Gute Nachrichten: eine Polynomdivision ist universell anwendbar. Wenn die oben genannten Bedingungen erfüllt sind, darf man beliebig "polynomdividieren".

Was bringt mir eine Polynomdivision?
Die Polynomdivision kann man in zweierlei Hinsicht gut verwenden:

1. zur Vereinfachung von gebrochen-rationalen Funktionen: mittels Polynomdivision kann eine gebrochen-rationale Funktion in eine ganzrationale Funktion überführt werden. Dabei kann gegebenenfalls (in der Mehrzahl der existierenden, aber in der Minderheit bei den Schulaufgaben) ein Restterm der Form übrigbleiben. Dieser Restterm besteht aus einer reellen Zahl oder einer Funktion geringeren Grades als desjenigen des Nennerpolynoms im Zähler und dem Nenner der ursprünglichen Funktion.

2. zur Ermittelung von Nullstellen einer Funktion zweiten oder höheren Grades. Um diese Art der Polynomdivision zur Anwendung bringen zu können, muss allerdings eine Nullstelle bekannt sein. Man spricht davon, dass diese Nullstelle "geraten" wird. Der Grundgedanke hinter dieser Anwendung ist der einer Zerlegung einer Funktion n-ten Grades in n Linearfaktoren der Form , wobei eine Nullstelle des Polynoms ist, mit anschließender Verwendung des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt mehrerer Faktoren wird genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null wird. Wenn wir also alle Linearfaktoren kennen, können wir daraus alle Nullstellen der Funktion ermitteln. Ein kleiner Trick erleichtert uns die Suche nach dem ersten Linearfaktor beträchtlich: alle Nullstellen, so es denn ganzzahlige Nullstellen gibt, sind Teiler des Absolutgliedes, i.d.R. das Glied ohne x dran, es sei denn, das ist gerade Null - aber auch dann kann man mittels Ausklammern von x wieder ein solches herstellen). Der Beweis dafür? Versucht mal, alle Faktoren zu verfolgen, die an der letzten Zahl beteiligt sind: es sind alle Nullstellen (weil ja kein x da ist). Wenn man nun alle Nullstellen multipliziert, um die letzte Zahl zu bekommen, dann ist diese durch alle Nullstellen teilbar.
 
 
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
2. Das Prinzip der Division
Damit man verstehen kann, wie eine Polynomdivision funktioniert, muss man sich die Funktionsweise der "normalen" schriftlichen Division in Erinnerung rufen:

Wenn wir eine Division der Form haben, dann schauen wir uns zunächst nur an, wie oft denn die Drei, also der Divisor, in der Hunderterziffer "Platz hat". Diese Frage ist im Grunde nur die Frage "Drei mal was ist drei?", oder allgemeiner "Divisor mal was ergibt den Dividenden?". Dieses "Was" ist dann das Ergebnis der Division, wie folgender Beweis veranschaulicht:
Man kommt relativ leicht zum Ergebnis:



Mit dieser (natürlichen, andernfalls muss auf die nächstkleinere natürliche Zahl abgerundet werden) Zahl multiplizieren wir den Divisor und ziehen das Ergebnis von der Hunderterstelle ab:



Wir haben also keinen Rest. Die übrigen Ziffern werden "heruntergeschrieben". Danach widmen wir uns der Zehnerstelle:



Diesmal bleibt uns beim Multiplizieren () ein Rest von 1. Der wird heruntergeschrieben und wir betrachten nun die Zehner- und die Einerstelle:



Die Division von 15 durch 3 liefert das Ergebnis 5 und lässt einen Rest von 1. Summiert sieht das dann so aus:



Ausgeschreiben bedeutet das , wobei das Drittel der Restterm ist, der bei einer Division bleiben kann.

Das Prinzip der Polynomdivision ist ein ähnliches, die Vorgehensweise entspricht der oben gezeigten. Bevor wir uns der Division durch eine Unbekannte widmen, noch ein paar Betrachtungen zur Zahl 346. Ich sprach oben von einer Hunderter-, einer Zehner- und einer Einerstelle. Insofern kann man 346 auch als Summe von 300, 40 und 6 sehen:



300 ist nichts als Drei mal Hundert, 40 ist nur Vier mal Zehn und 6 ist schließlich Sechs mal Eins:



Bedenken wir nun, dass 1, 10 und 100 Zehnerpotenzen sind, kommen wir auf folgende Darstellung:

kgV Auf diesen Beitrag antworten »
3. Polynomdivision
Was gerade mit Zehnerpotenzen gezeigt wurde, machen wir nun mit Unbekannten. Anstatt der Zehner nehmen wir x her, die 3 im Divisor ersetzen wir demzufolge durch x-7:



Zunächst kümmern wir uns nur um die höchste Potenz der Unbekannten, denn es gilt laut Distributivgesetz ganz allgemein: und damit insbesondere:
(Dies ist die Bruchdarstellung der Division, denn ein Bruchstrich ist ja nur eine alternative Schreibung für ein Geteilt-Zeichen)

Unser erster Rechenschritt ist also die Frage: " mal was ergibt ?"
Die Antwort ist augenscheinlich (andernfalls einfach lösenAugenzwinkern )
Jetzt müssen wir den Divisor mit diesem Teilergebnis multiplizieren. Das Ergebnis ziehen wir dann vom ursprünglichen Term ab:

Unser erster Rechenschritt sieht also so aus:



Die nächste Frage ist " mal was ergibt ?", die Antwort ist 25. Multiplikation mit dem Divisor und anschließende Subtraktion vom Rest ergibt das Folgende:



Nun haben wir den Punkt erreicht, an dem wir jegliche x'en aus dem Dividenden eliminiert haben. Dieser Punkt bedeutet für uns das Ende der Rechnung, der Rest wird als Restterm angeschrieben, sodass unser Ergebnis lautet.

Jetzt haben wir auf zwei gänzlich verschiedene Arten dividiert. Ist das, was wir hier gemacht haben, wirklich erlaubt? Wir erinnern uns: unsere Umformung geht von aus. Wenn wir in unser Ergebnis also für tatsächlich unser erstes Ergebnis erhalten, dann sollte doch alles in Ordnung sein.
Eine Probe mit x=10 bestätigt die Gleichheit der beiden Ausdrücke:
Im echten Leben ist es natürlich unsinnig, auf diese Weise eine normale Division zu erledigen, aber es ist mathematisch nachgewiesen, dass die Polynomdivision ein gültiges Mittel zur Vereinfachung ist, und das sollte unser Beispiel hier verdeutlichen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
4. Das Schema F
Aus den vorangegangenen Punkten ergibt sich ein starres Schema F, das man über jede Polynomdivision legen kann, d.h., welches universal anwendbar ist:

  1. Überprüfen, ob die Voraussetzungen für eine Polynonomdivision gegeben sind
  2. Die höchsten Potenzen von Dividend und Divisor betrachten
  3. Nach dem Schema "Höchste Potenz des Divisors multipliziert womit ergibt die höchste Potenz des Dividenden?" das Teilergebnis ermitteln und auf der Ergebnisseite anschreiben
  4. Den Divisor mit dem Ergebnis multiplizieren
  5. Dieses Ergebnis vom Ausgangsterm abziehen
  6. Überprüfen, ob der Divisor einen höheren Grad hat als der Dividend. Wenn nein, ab Punkt 2 wiederholen. Wenn ja, den Restterm (aktueller Rest durch Divisor) auf das Ergebnis aufsummieren
kgV Auf diesen Beitrag antworten »
5. Anwendungen und Beispiele
Nachdem bis hierher doch reichlich theoretisch herumdividiert wurde, möchte ich zwei Beispiele bringen, die den klassischen Anwendungsbereichen der Polynomdivision entstammen. Zuvor noch der praktische Tipp, eventuelle Lücken im Dividend à la aufzufüllen. Das hilft gelegentlich, um Verwirrung zu vermeiden.

1. Vereinfache folgenden Ausdruck: mit

2. Bestimme alle Nullstellen der Funktion

Die erste Aufgabe schleudert uns förmlich ins Gesicht, was wir tun müssen: die klassische Form der Polynomdivision ist gegeben. Wir haben einen Quotienten aus Polynomfunktionen. Frisch ans Werk also:

1. Schritt:
" mal was gibt ?" Die Antwort lautet schlicht und ergreifend .
Multiplizieren mit dem Divisor:
Subtraktion vom Ausgangsterm:

In der Zusammenfassung:



2. Schritt:
" mal was ergibt ?" Antwort:
Multiplizieren mit dem Divisor:
Subtraktion vom Ausgangsterm:

Zusammengefasst:



Wir haben nun keine Unbekannte mehr im Rest (genau genommen haben wir diesmal gar keinen), deshalb brechen wir hier ab. Unser Ergebnis:

Zu bedenken gilt es, dass auch diese neue Funktion für nicht definiert ist, obwohl sich kein direkter Widerspruch zu fundamentalen Gesetzen ergibt. Dennoch: diese Funktion ist einfacher zu handhaben und, abgesehen von der fehlenden Definitionslücke, identisch mit der Ausgangsfunktion, aber eben nur bis auf diese Lücke: wir müssen sie mitnehmen.



Die zweite Aufgabe verlangt etwas mehr Fingerspitzengefühl. Um die Polynomdivision zwecks Nullstellenfindung anwenden zu können, müssen wir eine Nullstelle kennen.
Gehen wir also alle Teiler der 6 durch: Schon bei x=1 landen wir einen Treffer: ist unsere erste Nullstelle, der Divisor lautet .

Machen wir uns an die Arbeit:



1. Schritt:
" mal was ergibt ?" Antwort:
Multiplizieren mit dem Divisor:
Subtraktion vom Ursprungsterm:

Zusammengefasst:


(die -6 interessieren uns erst mal nicht, die bleiben oben)

2. Schritt:
" mal was ergibt ?" Antwort:
Multiplizieren mit dem Divisor:
Subtraktion vom Dividenden:

Zusammenfassung:




3. Schritt:
" mal was ergibt ?" Antwort: 6
Multiplikation mit dem Divisor:
Subtraktion vom Ausgangsterm:

Zusammengefasst:




Der Nenner ist komplett erledigt, daher brechen wir die Polynomdivision an dieser Stelle ab und schreiben das Ergebnis an:



Dank der Polynomdivision können wir also anstatt der kubischen Ausgangsfunktion folgendes schreiben:

Denken wir wieder an den Satz vom Nullprodukt: die Nullstelle des ersten Faktors kennen wir bereits, bleibt noch die Klammer dahinter:
Die entstandene quadratische Gleichung in der hinteren Klammer lässt sich mittels einer beliebigen Lösungsformel recht bequem erschlagen, die Nullstellen könnten aber auch durch nochmaliges Raten einer Nullstelle und Polynomdivision gefunden werden (i.d.R. aber einfach unsinnig...)

Damit schließt sich der Workshop über die Polynomdivision. Lg kgV
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