LR-Zerlegung und Invertierbarkeit von A |
| 08.10.2013, 20:39 | Nicky1810 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| LR-Zerlegung und Invertierbarkeit von A Hallo! Ich habe mal eine Frage. Hatte eine Vorlesung zur linearen Algebra und verstehe folgendes nicht: Zum Lösen eines LGS mit Hilfe der LR-Zerlegung hatten wir einen Satz, der voraussetzt, dass A invertierbar sein muss, damit man das LGS Ax=b durch die beiden Gleichungen Ly=Pb und Rx=y lösen kann. Über die LR-Zerlegung hatten wir damals folgendes aufgeschrieben: - existiert für beliebiges A (A ist mxn Matrix) -> im Internet habe ich teilweise gelesen, dass die LR-Zerlegung nur für invertierbare Matrizen existiert?! - L (mxm) ist untere Dreiecksmatrix mit L(i,i)=1 - R (mxn) ist obere Dreiecksmatrix - P (mxm) ist Permutationsmatrix Warum funktioniert das Lösen von Ax=b dann nur für ein invertierbares A? Meine Ideen: Ich vermute, dass es daran liegt, dass für ein invertierbares A dann R(i,i) ungleich 0 gilt, sodass nur dann Rx=y eindeutig gelöst werden kann? Mit der LR-Zerlegung kann ich also nur eindeutig lösbare LGSe lösen? (Dann ist ja klar, dass A invertierbar sein muss...) Das mit R(i,i) ungleich 0 stand auch glaube ich irgendwo als Voraussetzung für die LR-Zerlegung (sodass man die dann nur für invertierbare A finden könnte), aber das haben wir irgendwie nie bedacht, bei uns gab es definitiv zu jedem A so eine Zerlegung. |
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| 11.10.2013, 14:14 | Nicky1810 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kann mir keiner helfen...? Liegt es daran, dass es wenn A invertierbar ist für PAx=b genau eine Lösung x gibt, demnach für LRx=b <=> Ly=b genau eine Lösung y gibt und ich mit diesem y dann Rx=y lösen kann? Für unendlich viele y könnte ich Rx=y ja nicht lösen... |
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| 11.10.2013, 14:48 | chrizke | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es liegt eher daran, dass für eine LR-Zerlegung ja gelten soll: Und wenn L und R echte obere/untere Dreiecksmatrizen sein sollen, muss auch A invertierbar sein. |
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