Beweise für gleiche Kardinalität von N und Z

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Käfer Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise für gleiche Kardinalität von N und Z
Meine Frage:
Ich möchte die gleiche Kardinalität (Mächtigkeit) von den geraden ganzen Zahlen und den natürlichen Zahlen beweisen.



Meine Ideen:
Reicht dies als Beweis aus?

2 Z = { ? , -4, -2, 0, 2, 4, ? }



g_{-4} = |2 * (-4)| =|8|
g_{-2} = |2 * (-2)| =|4|
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde eher versuchen eine Bijektion, d.h. eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen zu finden, daraus kannst du dann folgern, dass die Mächtigkeit gleich ist.
Käfer Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich eine bijektive Abbildung nicht für alle Zahlen machen, was bei der Menge nicht möglich ist?
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "alle Zahlen"? Du sollst eine Bijektion suchen zwischen der Menge aller geraden ganzen Zahlen und den natürlichen Zahlen. Das muss möglich sein, wenn die Aussage stimmen soll.

Edit: Vorgehen:

1. Dir überlegen, wie eine solche Abbildung aussehen könnte und sie dann konkret definieren.

2. Beweisen, dass sie injektiv und surjektiv, insgesamt also bijektiv ist.
Käfer Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ja so aussehen:

0 <---> 0
2 <---> -2
4 <---> -4
6 <---> -6
8 <---> -8
usw. ?
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Und was machst du mit den positiven ganzen geraden Zahlen?
 
 
Käfer Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird mir jetzt doch zu schwer...

Kann ich nicht einfach sagen: Z = N <--->
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, weil die mathematische Aussage, dir dort steht, leider gar keinen Sinn ergibt, wenn Z und N die ganzen bzw. natürlichen Zahlen sein sollen.
Käfer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich nochmal von vorne Anfangen. Ich komme auf keine andere Idee...
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Idee wäre folgendes gewesen:

Wie wäre es mit einer Abbildung die folgendes macht:
0 |-> 0
1 |-> 2
2 |-> -2
3 |-> 4
4 |-> -4
5 |-> 6
6 |-> -6,
...
also formal


Ich habe hier die Null etwas blöd eingefügt, es gibt bestimmt noch bessere Zuordnungen.
Käfer Auf diesen Beitrag antworten »

In der Formel taucht aber dann kein Z mehr auf?
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Brauch es doch nicht, du durchläuftst doch damit alle geraden ganzen Zahlen. Wo ist das Problem?
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