Orthogonalbasen des quadratischen Raums

08.10.2013, 21:45

Mirileini

Orthogonalbasen des quadratischen Raums

Meine Frage:
Hallo smile

unzwar häng ich an einer vermutlich ziemlich einfach Multiple Choice Aufgabe. Unzwar:
Welche der folgenden Mengen sind Orthogonalbasen des quadratischen Raums ((F5)²,q) mit $\begin{eqnarray*} q(x):=^tx \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}x \end{eqnarray*}$
(wobei wie üblich F5 den Körper mit 5 Elementen bezeichnet) ?
So und jetzt hab ich 2 Sachen zur Auswahl:
1.
{ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ }
und 2.
{ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ }

Meine Ideen:
So, ich weiß dass 1. richtig ist aber warum ? die beiden Orthogonalbasen müssen ja orthogonal zueinander sein, aber das ist ja nur das 2. und wenn ich die Vektoren einsetzt dann kommt irgendeine Zahl raus aber nicht 0.
Wo ist mein Fehler ? Habe schon alle möglichen Kombinationen versucht..
Danke im Voraus !

09.10.2013, 09:02

magic_hero

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Achtung, du hast hier nicht das Standardskalarprodukt, sondern q ist das Skalarprodukt, mit dem du rechnen musst. Dann funktioniert das auch.

/EDIT: Wobei ich zugeben muss, dass das etwas seltsam definiert worden ist (es sollte dort wohl eher $\begin{eqnarray*} q(x,y):=^tx \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}y \end{eqnarray*}$ stehen).

09.10.2013, 10:23

Mirileini

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Tut mir Leid dass ich noch einmal nachfrage, aber wie genau muss ich das einsetzten. Hab das aus Verzweiflung schon in glaub ich jede erdenkliche Art eingesetzt Big Laugh

09.10.2013, 10:45

magic_hero

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Na ja, du setzt in q für x bzw. y die Vektoren ein, d.h. z.B. $\begin{eqnarray*} q(\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}):= (2,1) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Beachte, dass du das, was du für x einsetzt transponieren musst, damit du die Matrix-Vektor-Multiplikation richtig ausführen kannst.

09.10.2013, 10:48

Mirileini

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Aber das ergibt doch 5 und ist doch damit nicht orthogonal ? Dachte ich..

09.10.2013, 10:50

magic_hero

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Zitat:

Original von Mirileini
Aber das ergibt doch 5 und ist doch damit nicht orthogonal ? Dachte ich..

Ergebnis 5 ist korrekt. In welchem Körper befinden wir uns noch mal? verwirrt