Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.? |
| 09.10.2013, 15:34 | r4ndom19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.? Ich hätte da mal eine Frage zu den Beweisen bei denen etwas o.B.d.A. angenommen wird... Speziell zum Satz von Schwarz, da dort schon relativ viel angenommen wird. Der Satz von Schwarz besagt bekanntlich: Sei und zweimal stetig partiell diff'bar. Dann gilt für alle und alle e, d= 1, 2, ..., n Nun habe ich in einem Beweis zu diesem Satz gelesen, dass man o.B.d.A. annehmen kann, dass n=2 und e=1, d=2 und a=0 ist. Ich würde mal gerne wissen wieso man das einfach kann? Kann man das wirklich so pauschal sagen? Denn würde man z.B. im Beweis ausnutzen, dass n=2 ist, oder die speziellen Eigenschaften der Null, wäre die Allgemeinheit ja verletzt. Sogar das e=1 und d=2 ist könnte möglicherweise ausgenutzt werden, da man ja sozusagen die Steigung der aufeinanderfolgenden Koordinatenrichtungen betrachtet. Oder ist es so wie ich vermute, dass man es prinzipiell nur dann o.B.d.A annehmen kann, wenn man den Beweis mit jeder anderen rellen Zahl für a und jeder anderen natürlichen Zahl für e, d, n hätte führen können? |
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| 09.10.2013, 16:40 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.? Jein. O.B.d.A. sollte man nur benutzen, wenn klar ist, wie man den Beweis in den anderen Fällen ausführen kann. Normalerweise soll o.B.d.A. dabei helfen, die Notation möglichst einfach zu halten. Es kann sein, dass du dabei die spezifischen Eigenschaften der Annahme benutzt, aber es muss dann immer "klar" sein, warum das auch in allen anderen Fällen gilt. Ohne deinen Beweis jetzt vorliegen zu haben, würde ich z.B. beim Satz von Schwarz behaupten: Dass der Satz gilt für i=j ist trivial. Also kannst du o.B.d.A. annehmen. Jetzt kannst du die Funktion sicherlich auf den Teilraum einschränken, der von den Einheitsvektoren zu den Richtungen von aufgespannt wird - wenn du die Ausdrücke aufschreibst, dann spielen die anderen Variablen einfach keine Rolle. Also kannst du dich o.B.d.A. auf einen zweidimensionalen Unterraum beschränken und es spielt auch überhaupt keine Rolle welcher, denn die Ausdrücke sind ja in allen Variablen symmetrisch. Der Unterraum ist nun immer isomorph zum , also beschränkst du dich einfach auf den Fall n=2. Natürlich kommt es häufig vor, dass dir nicht klar sein wird, warum etwas o.B.d.A. gelten muss. Ich würde das dann als Hinweis nehmen, dass dir noch die mathematische Intuition zu diesen Sachen fehlt (oder der Autor war einfach nur faul, gibt's auch). Gruß MI |
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| 09.10.2013, 19:38 | r4ndom19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.?
Hi, ich kann dir leider nicht ganz folgen. Zum einen, wieso darf ich die Funktion einfach auf einen 2-dimensionalen Raum einschränken? Ich hätte mir es so erklärt, dass beim partiellen differenzieren ja nur die i-te Variable betrachtet wird und der Rest als Konstant aufgefasst wird. Oder ist es das was du mit deinen Ausführungen meinst? Und wenn man an dem Punkt ist, wieso folgt aus der Symmetrie das es egal ist welcher 2 dimensionale Unterraum betrachtet wird? |
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| 09.10.2013, 20:27 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.? Ja, genau das meine ich. Wenn du in der Funktion jeweils die anderen Variablen, nach denen nicht abgeleitet wird, konstant hälst, dann hast du eine Funktion mit nur zwei Variablen. Ob die anderen Variablen jetzt konstant sind oder nicht spielt aber für den Beweis überhaupt keine Rolle. Zum nächsten Punkt: Mit "Symmetrie" meine ich, dass es ja völlig irrelevant ist, welche konkreten Zahlen i und j denn jetzt haben. Du könntest zum Beispiel sagen: Betrachten wir zunächst i=1 und j=2. Wenn i und j nicht 1 und 2 sind, dann nenen wir einfach die Variablen um (da passiert ja nichts) sodass i=1 und j=2 ist. Die Formel lässt das sozusagen völlig kalt, welche speziellen Variablen du meinst. Das meine ich mit "es ist egal, welchen Unterraum du betrachtest". Für jede Wahl von i und j kannst du einfach alle anderen Variablen konstant halten und schränkst dich damit sozusagen auf einen zweidimensionalen Unterraum ein. Gruß Martin |
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| 10.10.2013, 08:31 | r4ndom19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.?
Hi nochmal, also wenn i=1 und j=2 ist, dann ist es natürlich völlig klar, dass die Formel unbeeindruckt von i=2 und j=1 ist (Ich denke das wolltest du posten 
)Aber auch wenn man in einem 2-dim Unterraum ist, kann ja i=4 und j=8 sein, beispielsweise. Wenn die Formel nun für i=1 und j=2 gilt, wieso folgt es dann auch für i=4 und j=58, denn dabei kann man doch die Symmetrie nicht mehr ausnutzen? Es sind ja doch völlig andere Richtungen in die differenziert wird. |
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| 10.10.2013, 10:08 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.? Ich meinte mit der Symmetrie nicht die offensichtliche Symmetrie der Formel, sondern die Symmetrie des Raumes bezüglich der Wahl der Richtungen. Tatsächlich wollte ich sagen, dass der Beweis (nicht die Formel) völlig unbeeindruckt von irgendeiner Wahl von i und j ist. Klar, in der FORMEL ändert sich etwas, wenn i und j verschiedene Werte annehmen - aber da ändert sich nur der Name von Indizes, von der Funktionsweise des Beweises ändert sich nichts. Was ich mit Symmetrie meine: Die Ableitung funktioniert immer gleich - egal in welche Richtung du ableitest. Guck dir den Beweis für i=1 und j=2 an. Funktioniert der auch für i=4 und j=64? Ja, warum? Daher folgt nicht aus i=1 und j=2 auch der Fall i=4 und j=64 - das folgt sicherlich nicht, aber der Beweis geht genauso und das ist die o.B.d.A. Geschichte. Gruß MI |
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| 10.10.2013, 10:15 | r4ndom19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.? Hallo, ja so hatte ich mir das gedacht! Aber genau das meine ich, erst durch den Beweis wird ersichtlich, dass die Wahl der i und j unbedeutend ist. Bevor man den Beweis an sich sieht, könnte es ja sein, dass man spezielle Eigenschaften der Richtungen ausnutzt. (Also gut, mir persönlich fällt jetzt nichts ein, wie sich die Ableitung in den ersten beiden Richtungen von den anderen Unterscheidet, wenn man von einer allgemeinen Funktion spricht. ..Was aber nicht heißen muss, dass es da bestimmte Eigenschaften gibt. Sehe ich das so richtig? |
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| 10.10.2013, 11:00 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde da nicht zustimmen. Es wird mE. nicht erst durch den Beweis klar, dass man o.B.d.A verwenden kann. Es gibt eigentlich überhaupt keine Art von Anordnung der Koordinatenrichtungen. Niemand hindert einen daran, die beliebig umzubenennen. Man kann sich einfach zwei Richtungen nehmen und die dann x1 und x2 Richtung nennen. Edit: Sorry MI, hatte nicht gesehen, dass du online bist. |
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| 10.10.2013, 11:01 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.?
Nein, genau das gibt's eben nicht. Das liegt an der Isotropie des Raumes (und der Definition der Ableitung) - und ist unabhängig von der konkreten Anwendung der Ableitung. Insofern ist vorher schon klar, dass ein vernünftiger Beweis davon unabhängig sein muss. Das sind aber Sachen, die man am Anfang nicht unbedingt alle überblickt. Wenn also das o.B.d.A. erst im Beweis klar wird, dann ist das auch ok - in der Hauptsache solltest du nur verstehen, warum der Beweis funktioniert. In ein paar Jahren geht dann auch das o.B.d.A. automatisch. Gruß MI |
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| 11.10.2013, 07:25 | r4ndom19 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.? Also mich würde jetzt schon mal noch interessieren, wieso das so ist. Isotropie des Raumes ist mir jetzt nur bedingt ein Begriff, im Zusammenhang mit Bilinearformen b und der Eigenschaft, dass b(x, x)=0 gilt.. Ich hätte es mir so erklärt, dass man die Koordinatenrichtungen beliebig ändern kann, sofern man wieder linear unabhängige Vektoren wählt. (Da Basen ja isomorph sind). Aber ich finde das Argument ein bisschen zu sehr aus der Algebra geholt... |
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| 11.10.2013, 10:20 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Satz von Schwarz - was gilt o.B.d.A.?
Ja, funktioniert. Das heißt im Wesentlichen, dass du einfach deine Variablen umbenennst, also aus i=4 und j=54 machst du i=1 und j=2 und da der Beweis unter dieser Umbenennung keinen Schaden erleidet, passt's, wenn du nur weißt, dass der Beweis für i=1 und j=2 funktioniert.
Herzlich willkommen in der Mathematik 
. Warum sollte denn jedes Argument in der Analysis analytisch sein? Insbesondere bei solchen Grundlagen darfst du auch immer annehmen, dass die bekannt sind.Zur Isotropie: Der Raum ist "isotrop" (im eher physikalischen Sinne), das bedeutet, dass es keine ausgezeichnete Richtung (d.h. auch keine ausgezeichnete Basis) gibt. Die Ableitung zeichnet jetzt eine Richtung aus (Richtungsableitung), aber welche Richtung ausgezeichnet wird, muss dann wieder egal sein. Das ist jetzt etwas "handwavy", formal schön ist das eben genau mit dem Basiswechsel. Gruß MI |
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