Verteilung von Zufallsvariabeln im Vergleich zum Erwartungswert

09.10.2013, 23:32

muff-in

Verteilung von Zufallsvariabeln im Vergleich zum Erwartungswert

Im Musterabitur vom letzten Jahr, Stochastik II, kam bei 3c) folgende Frage dran:

Begründen oder wiederlegen Sie folgende Aussage: "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner als ihr Erwartungswert ist, beträgt höchstens 50%."

Meine Idee:

Nein. Zwar liegt der Erwartungswert am (nahe bei) dem Maximum, aber binomialverteilte Zufallsgrößen sind nicht symmetrisch verteilt (außer bei p = 0,5).

Ist das eine gültige Begründung? Oder sehe ich da Zusammenhänge, die nicht existieren? verwirrt

09.10.2013, 23:41

HAL 9000

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Mach es doch gleich konkreter, z.B. $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(1,\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$ . Da ist mit

$\begin{eqnarray*} P(X=0) = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X)= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

schnell und direkt ein Gegenbeispiel zur Aussage angegeben.

09.10.2013, 23:51

muff-in

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Ja aber liegt es daran, dass sie nicht symmetrisch verteilt sind? Also symmetrisch im Sinne von dass der Erwartungswert das Maximum ist, und links und rechts von ihr die Werte symmetrisch abfallen. Wie bei der Gaußschen Glockenkurve.

09.10.2013, 23:54

HAL 9000

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Ja klar, bei symmetrisch verteilten Zufallsgrößen mit existentem Erwartungswert gilt die Aussage. Aber darum geht es hier ja nicht, da diese Voraussetzung nicht besteht.

10.10.2013, 00:01

muff-in

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Cool. Danke! smile

10.10.2013, 03:39

stochastiklernender

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mach es doch gleich konkreter, z.B. $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(1,\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$ . Da ist mit

$\begin{eqnarray*} P(X=0) = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X)= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

schnell und direkt ein Gegenbeispiel zur Aussage angegeben.

was bedeutet $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(1,\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$
?
danke schonmal

10.10.2013, 07:56

HAL 9000

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Wieso fragst du das erst jetzt??? Aber oben erstmal fleißig mit

Zitat:

Original von muff-in
Ja aber liegt es daran, [...]

antworten. Finger1

$\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ steht für die Binomialverteilung mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} B(1,p) \end{eqnarray*}$ hat man also nur einen Versuch (nennt man auch Bernoulli-Verteilung) mit den Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X=0) = 1-p \end{eqnarray*}$ für Misserfolg und $\begin{eqnarray*} P(X=1) = p \end{eqnarray*}$ für Erfolg.

10.10.2013, 09:45

muff-in

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wieso fragst du das erst jetzt??? Aber oben erstmal fleißig mit

Zitat:

Original von muff-in
Ja aber liegt es daran, [...]

antworten. Finger1

Tz, das war nicht ich. Da hab ich schon geschlafen. @stochastiklernender hat die Frage gestellt. Augenzwinkern