Einseitiger Signifikanztest

10.10.2013, 13:30	muff-in	Auf diesen Beitrag antworten »
Einseitiger Signifikanztest Zehn 20- bis 24-jährige Frauen wurden zufällig ausgewählt. Ein Skeptker meint, dass die Raucherrate unter den 20- bis 24-jährigen Frauen höher als 0,3 ist. Er testet die Hypothese $\begin{eqnarray} H_0: p \leq 0,3 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass eine 20- bis 24-jährige Frau raucht. Er stellt jeder der 10 ausgewählten Frauen die Frage "Sind sie Raucherin?" und erhält folgendes Antwortprotokoll: "ja-nein-ja-nein-ja-ja-nein-nein-nein-ja". Untersuchen Sie, ob das Ergebnis der Befragung die Meinung des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von 5% stützt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} H_0: \end{eqnarray}$ "Die Raucherrate unter den 20- bis 24-jährigen Frauen ist kleiner gleich 0,3" $\begin{eqnarray} H_1: \end{eqnarray}$ "Die Raucherrate unter den 20- bis 24-jährigen Frauen ist größer als 0,3" Daraus folgt: $\begin{eqnarray} H_0: p_0 \leq 0,3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: p_1 > 0,3 \end{eqnarray}$ X: "Anzahl der Raucherinnen" Stichprobenlänge: 10 --> kritscher Wert: 100,3 = 3 --> Annahmebereich $\begin{eqnarray} H_0: X \leq 3 \end{eqnarray}$ Verwerfungsbereich $\begin{eqnarray} H_0: 3 < X \leq 10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha -Fehler: \\ P (3 < X \leq 10) = P (X\leq 10) - P (X\leq 3) = \\ \sum\limits_{i=0}^{10} B(10; 0,3; i) - \sum\limits_{i=0}^3 B(10; 0,3; i) = \\ 1 - 0,6496 = 0,3504 \\ \\ \Rightarrow \alpha-Fehler = 35 % \end{eqnarray*}$ Da 35% > 5% stüzt das Ergebnis nicht die Meinung des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von 5% ??
11.10.2013, 09:34	chris_78	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Dass das so nicht stimmen kann wird schon daran klar, dass bei Deinem Vorgehen ja völlig egal ist welche Antworten die Stichprobe ergaben. Hier waren es 5mal ja und 5mal nein. Dies ist natürlich relevant. Das Aufstellen der Hypothesen ist soweit richtig. Allerdings gestehst Du dem Annahmebereich eine Fehlertoleranz zu. Dadurch vergrößert sich der Annahmebereich. Zu prüfen ist dann, ob das Ergebnis der Stichprobe noch im Annahmebereich liegt oder nicht. Ich verlinke mal auf ein erklärendes Beispiel (das Beispiel 1 b)
12.10.2013, 16:48	muff-in	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst dus mir nocheinbisschen genauer erklären? Ich verstehs irgendwie nicht. Warum ist es nicht wurst, was bei der Stichprobe rauskommt? Es beeinflusst ja nicht meine Entscheidungsregel. Naja, also ich meine das so: X=5 liegt ja im Verwerfungsbereich von H_0, also wird H_1 angenommen. Aber H_0 hatte ja von vornherein ein Signikanzniveau von 35%, also kann die Stichprobe (obwohl sie mit der Meinung des Skeptikers übereinstimmt) die Meinung des Skeptikers nicht auf einem Signifikanzniveau von 5% stüzen.
13.10.2013, 19:07	chris_78	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das Ergebnis der Stichprobe beeinflusst die Entscheidungsregel nicht. Ich wollte nur deutlich machen, dass bei Deinem Vorgehen ja das Ergebnis der Stichprobe überhaupt nirgendwo berücksichtigt wird. Selbst wenn die Stichprobe 10 Raucherinen geliefert hätte, hätte das bei Deinem Vorgehen ja null Einfluss auf Deine Antwort gehabt. Da kann dann ja etwas nicht passen im Vorgehen, wenn der Ausgang der Stichprobe irrelevant ist. Hast Du Dir das verlinkte Beispiel angesehen? Dort ist im Prinzip der gleiche Aufgabentyp nur mit anderen Zahlenwerten vorgerechnet. Du hast ja für Deine aufgestellten Entscheidungsregeln den alpha-Fehler auch richtig berechnet. Allerdings ist Deine Herangehensweise nicht der richtige Weg. Vielmehr musst Du Dich fragen, für ab welchem X Wert der alpha-Fehler kleiner als 5% wird. Man vergrößert den Annahmebereich also solange, bis der alpha-Fehler <5% ist und schaut dann, ob das Ergebnis der Stichprobe im Annahmebereich liegt oder nicht.
14.10.2013, 22:52	muff-in	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich glaube ich versteh, was du meinst. Aber dann kann ich ja nicht mehr meine Nullhypothese testen, oder? Weil wenn ich die Nullhypothese habe, ergibt sich ja die Gegenhypothese sozusagen von selbst. Ach ich check das einfach nicht! Also moment, ich soll den Annahmebereich von H_0 solange vergrößern, bis der alpha-Fehler unter 5% ist? Nehmen wir mal an das wäre bei X =< 5. Dann wär der Verwerfungsbereich von 5 < X =< 10 Aber dann würde das ja auch meine Nullhypothese verändern. Weil p wäre dann in meiner repräsentativen Stichprobe nicht mehr =< 0,3 sondern p =< 0,5 da ich ja 10 Frauen ausgewählt habe. Meine Nullhypothese und mein Annahmebereich müssen doch irgendwie das gleiche aussagen??
14.10.2013, 23:38	chris_78	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das verändert Deine Nullhypothese nicht, Du gehst dort weiterhin von einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} p\leq 0,3 \end{eqnarray}$ aus. Bei einer Stichprobe von n=10 würde man bei einer Raucherrate von p=0,3 ja 3 Raucherinen erwarten. Nun ist das Ziehen so einer Stichprobe aber ein Zufallsexperiment und auch wenn die wahre Raucherrate bei 30% liegt, kann es Dir passieren, dass Du zufälligerweise 5 Raucherinen erwischt (wie wahrscheinlich dies ist lässt sich ja mit $\begin{eqnarray} P(X=5) = B(10; 0,3; 5) \end{eqnarray}$ berechnen). Wenn Du die Nullhypothese verwirfst, weil Du in Deiner Stichprobe mehr als 3 Raucherinen hast (so war ja Dein Verwerfungsbereich im 1. Post), dann begehst Du mit 35% Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art (alpha-Fehler). Sprich mit 35% Wahrscheinlichkeit ist die Nullhypothese doch richtig, obwohl Du sie verwerfen willst. Das ist doch eine relativ große Wahrscheinlichkeit und zu sagen die Nullhypothese wäre wohl unzutreffend wäre demnach eine ziemlich unsichere Aussage. Wir wollen also die Nullhypothese erst verwefen, wenn der alpha Fehler kleiner als 5% beträgt (Signifikanzniveau von 5%). Dafür vergrößern wir nun eben unseren Annahmebereich. Wir gehen aber immer noch von einem p=0,3 aus
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