Beweis Satz von Bolzano-Weierstraß

10.10.2013, 14:27

Malak

Beweis Satz von Bolzano-Weierstraß

Meine Frage:
Hallo,
nun eigentlich geht es hier nicht ganz um den Satz von Bolzano-Weierstraß, dafür aber um einen Satz, aus dem dieser direkt, zumindest für IR, folgt. Dieser Beweis ist aus Amann Analysis I, leider verstehe ich da einen bestimmen Schluss nicht. Deswegen wollte ich hier mal fragen, um jemand weiß, warum der Schluss an dieser einen Stelle so klappt. Ich werde mal den ganzen Satz und Beweis abschreiben, damit ich auch keine vielleicht relevanten Informationen verstehe.

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Theorem: Eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bhesitzt einen kleinsten Häufungspunkt in $\begin{eqnarray*} x_* \end{eqnarray*}$ und einen größten Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ . Zudem gelten die Gleichheiten:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\inf\;x_n = x_* \;und\; \lim\sup\;x_n = x^*<br /> \end{eqnarray*}$
Beweis:
Wir setzen $\begin{eqnarray*} x^* := \lim\sup \; x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n := \sup\limits_{k \geq n} x_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Folge mit
$\begin{eqnarray*} x^* = \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} y_n . (5.1) \end{eqnarray*}$
Wir unterscheiden 3 Fälle:
(i) Es sei $\begin{eqnarray*} x^* = -\infty \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} K > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} -K > y_n = \sup\limits_{k \geq n} x_k, \end{eqnarray*}$
da sonst $\begin{eqnarray*} x^* \leq -K_0 \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} K_0 > 0 \end{eqnarray*}$ gelten würde. Also ist $\begin{eqnarray*} x_k \in (-\infty, -K) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x^* = -\infty \end{eqnarray*}$ ist der einzige Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ .
(ii) Es sei $\begin{eqnarray*} x^* \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Wegen Satz I.10.5 (Anmerkung: Der besagt einfach nur $\begin{eqnarray*} x < sup(A) \Leftrightarrow \exists a \in A: x < a \end{eqnarray*}$ bzw. analog für Infimum) und (5.1) finden wir zu jedem $\begin{eqnarray*} \xi > x^* \end{eqnarray*}$ ein n mit $\begin{eqnarray*} \xi > y_n \geq x_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq n \end{eqnarray*}$ . Folglich ist kein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ . Es genügt deshalb nachzuweisen, daß $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ selbst ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist. Dazu sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Wegen
$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{k \geq n} x_k = y_n \geq x^* , \quad n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
finden wir, wiederum aufgrund von Satz I.10.5, zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k \geq n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_k > x^* - \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Da wir bereits wissen, daß kein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ ist, muß das Intervall $\begin{eqnarray*} (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon) \end{eqnarray*}$ unendlich viele Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ enthalten, d.h. $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ ist ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$
(iii) Schließlich betrachten wir den Fall $\begin{eqnarray*} x^* = \infty \end{eqnarray*}$ . Wegen (5.1) gilt dann $\begin{eqnarray*} y_n = \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Folglich gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} K > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k \geq n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_k > k \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} x^* = \infty \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ , und offensichtlich der Größte.
Der Nachweis, daß $\begin{eqnarray*} x_* := \lim\inf \; x_n \end{eqnarray*}$ der kleinste Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ist, kann durch analoge Argumente erbracht werden.

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So, das ist der zitierte Beweis, Seite 183 Amann Analysis I.

Und die Stelle, die ich nicht ganz nachvollziehen kann, ist diese hier:
"Da wir bereits wissen, daß kein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ ist, muß das Intervall $\begin{eqnarray*} (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon) \end{eqnarray*}$ unendlich viele Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ enthalten"
Warum muss das Intervall dann unendlich viele Folgeglieder enthalten? Im Beweis wurde zunächst gezeigt, dass es unendlich viele Folgeglieder gibt, die größer als $\begin{eqnarray*} x^* - \varepsilon \end{eqnarray*}$ sind, das ist klar.
Zuerst dachte ich: Wenn es unendlich viele Folgeglieder mit gäbe, die größer sind als $\begin{eqnarray*} x^* + \varepsilon \end{eqnarray*}$ , so gäbe es ja eine Teilfolge, deren Folgeglieder alle größer sind, die müsste dann einen Häufungspunkt haben, was ein Wiederspruch dazu wäre, dass es keinen größten Häufungspunkt gäbe...aber das wäre ja ein Zirkelschluss, da ich dazu ja eben diesen noch zu beweisenden Satz bräuchte, da daraus ja folgt, dass jede Folge einen Häufungspunkt in $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ hat.
Wäre also nett, wenn mir jemand sagen könnte, warum dieser Schluss funktioniert...wahrscheinlich total einfach...

Meine Ideen:
Na ja, meine falsche Idee habe ich ja schon gepostet, mehr fällt mir nicht ein.

10.10.2013, 20:38

LonZealot

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Wegen $\begin{eqnarray*} x^* \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt sein, also gibt es ein $\begin{eqnarray*} C \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} C > x_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Wir wissen aber auch, dass es unendlich viele Folgeglieder gibt, die größer als $\begin{eqnarray*} x^* - \varepsilon \end{eqnarray*}$ sind.
Jetzt kann man das Intervall $\begin{eqnarray*} (x^* - \varepsilon, C) \end{eqnarray*}$ in endlich viele Teilintervalle der Länge $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ unterteilen. Daraus folgt jetzt per Widerspruch, dass unendlich viele Folgeglieder in $\begin{eqnarray*} (x^*-\varepsilon, x^*+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ sein müssen.

Das würde mir jedenfalls als Begründung einfallen.

10.10.2013, 21:26

Malak

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Hm. Da bin ich mir nicht sicher. Wäre es nicht auch möglich, nur anhand der im Beweis gegebenen Voraussetzungen, dass unendlich viele Folgeglieder im Intervall $\begin{eqnarray*} (x^* + \varepsilon,C) \end{eqnarray*}$ liegen? Dann wäre es ohne Widerspruch möglich, dass im gesuchten Intervall nur endlich viele liegen. Oder meinst du einen anderen Widerspruch? Natürlich könnte man begründen, warum im Intervall $\begin{eqnarray*} (x^* + \varepsilon,C) \end{eqnarray*}$ nicht unendlich viele Folgeglieder liegen, nämlich durch die dann gegebene Existenz einer beschränkten Teilfolge, die nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß einen größeren Häufungspunkt als $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ hätte, was nicht möglich ist. Aber deswegen habe ich den Titel so genannt: Dieser Satz wird im Buch erst danach mit diesem Satz hier bewiesen, sodass man darauf wohl nicht zurückgreifen kann.
Hoffentlich habe ich jetzt nicht deinen WIderspruch falsch verstanden...

10.10.2013, 21:53

LonZealot

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Ich dachte man könnte dann die Existenz eines Häufungspunktes auch ohne Bolzano-Weierstraß folgern, aber das klappt wohl doch nicht. Ich überlege nochmal.

10.10.2013, 22:24

LonZealot

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Man kann ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} y_N \in (x^* - \varepsilon, x^*+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} k \geq N \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x^*+ \varepsilon > y_N \geq x_k \end{eqnarray*}$ .
Nach dieser Argumentation:

Zitat:

Wegen
$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{k \geq n} x_k = y_n \geq x^* , \quad n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
finden wir, wiederum aufgrund von Satz I.10.5, zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k \geq n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_k > x^* - \varepsilon \end{eqnarray*}$

findet man aber auch unendlich viele Folgeglieder von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ die größer als $\begin{eqnarray*} x^* - \varepsilon \end{eqnarray*}$ sind. Damit müssen dann unendlich viele Folgeglieder in $\begin{eqnarray*} (x^*-\varepsilon, x^*+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ liegen.

Edit: Das ist zwar jetzt nicht genau die Folgerung, nach der du gefragt hast, aber ich sehe momentan nicht wie das ohne Bolzano-Weierstraß funktionieren soll.

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