Geometrische Zahlenfolgen Bildungsvorschrift

10.10.2013, 14:51

Rivago

Geometrische Zahlenfolgen Bildungsvorschrift

Hallo

Ich habe folgendes vorgegeben:
$\begin{eqnarray*} a_{4}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{11}=64 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

Habe nun folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} a_{4} = a_{1} \cdot q^{4-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2= a_{1} \cdot q^{3} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} a_{11} = a_{1} \cdot q^{11-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 64= a_{1} \cdot q^{10} \end{eqnarray*}$

Jetzt die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ umgestellt.

$\begin{eqnarray*} 2= a_{1} \cdot q^{3} |:q^{3} \end{eqnarray*}$

Ergibt:

$\begin{eqnarray*} a_{1} =\frac{2}{q^{3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man $\begin{eqnarray*} a_{1} =\frac{2}{q^{3}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 64= a_{1} \cdot q^{10} \end{eqnarray*}$
einsetzen

Da hab ich:

$\begin{eqnarray*} 64= \frac{2}{q^{3}} \cdot q^{10} \end{eqnarray*}$

An der Stelle komm ich leider nicht weiter. Wie krieg ich denn jetzt q raus?

10.10.2013, 15:00

alterHund

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q^10/q^3 = q^7

10.10.2013, 15:03

Rivago

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Was hast du da gemacht?

Kann ich nicht so richtig nachvollziehen. 10-3 ist 7, das ist mir klar. Aber warum muss man das da so rechnen?

10.10.2013, 15:07

alterHund

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na, was wird denn nun aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} 64= \frac{2}{q^{3}} \cdot q^{10} \end{eqnarray*}$ ?
das kann doch nun nach q aufgelöst werden.

10.10.2013, 15:17

Rivago

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$\begin{eqnarray*} 64= \frac{2}{q^{3}} \cdot q^{10} |\cdot q^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64 \cdot q^{-3} = 2 \cdot q^{10} |: q^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64= \frac{2 \cdot q^{10}}{q^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64 = 2 \cdot q^{7} |:2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 32 = q^{7} | 7. Wurzel aus 32 \end{eqnarray*}$

q= 1,64

Hab das Gefühl, dass es falsch ist. verwirrt

10.10.2013, 15:19

alterHund

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das Gefühl trügt.

10.10.2013, 15:21

Rivago

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Echt, das ist richtig? Gott

10.10.2013, 15:23

alterHund

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ja, und etwas einfacher wäre gewesen

$\begin{eqnarray*} a_{11} = a_4 q^7 \dots \end{eqnarray*}$

Freude

10.10.2013, 15:26

Rivago

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Wie?

Also $\begin{eqnarray*} a_{4} \cdot q^{7} \end{eqnarray*}$

??

10.10.2013, 15:38

alterHund

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$\begin{eqnarray*} a_{11} &=& a_4 q^7 \\64 &=& 2 q^7 \end{eqnarray*}$

10.10.2013, 15:40

Rivago

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Ja das hab ich verstanden. Aber geht es nicht auch noch einfacher? Also um auf $\begin{eqnarray*} q^{7} \end{eqnarray*}$ zu kommen hab ich ja viele Schritte gebraucht.

10.10.2013, 15:43

alterHund

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nun, daoben hab' ich's Dir doch in 2 ( oder 3 ) Schritten gezeigt

10.10.2013, 15:45

Rivago

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Wo meinst du?

Sorry, du kommst dir vllt verarscht vor, aber ich steh wirklich auf dem Schlauch verwirrt

10.10.2013, 15:52

alterHund

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Deine ersten 2 Formeln zu Beginn des Threads waren
$\begin{eqnarray*} a_{4}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{11}=64 \end{eqnarray*}$
daraus folgt in einem Schritt
$\begin{eqnarray*} 64 = 2 q^7 \end{eqnarray*}$

10.10.2013, 15:56

Rivago

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Mh, versteh ich nicht.
Glaub wir lassen das an der Stelle erstmal so stehen. Über den aufwendigen Weg geht es ja erstmal auch Freude

Danke bis dahin smile

10.10.2013, 15:58

alterHund

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ja, bin jetz weg. Deine Hartnäckigkeit ist aber gut und in Ordnung.
Wink

10.10.2013, 18:33

Rivago

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Habe ja damit dann $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bilden können.

$\begin{eqnarray*} a_n = 0,45 \cdot 1,64^{n-1} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt überprüft ob es stimmt, zb mit dem 4. Glied, kommt folgendes raus:

2,0006.....

Ist ja dann doch mehr oder weniger ungenau. Das kommt ja sicher durch Rundungsfehler. Wie kriegt man die Formel so hin, damit glatt 2 raus kommt? Aber ohne das man da zb 0,45...... stehen hat.

10.10.2013, 18:52

conlegens

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Verwende statt 0,45: $\begin{eqnarray*} 2/32^{(1/7)^3} \end{eqnarray*}$

und statt: 1,64: $\begin{eqnarray*} 32^{1/7} \end{eqnarray*}$

Statt 32^(1/7) kannst du auch "7.Wurzel aus 32 schreiben" (natürlich mit dem Wurzelzeichen) Wink

10.10.2013, 18:59

conlegens

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PS:

Mit den Potenzgesetzen lässt sich das Ganze noch schöner darstellen: 32=2^5 ...

10.10.2013, 21:52

dastrian

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Entschuldigt, wenn ich mich kurz zwischenschalte. Ich glaube, das anfängliche Problem mit

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{10}}{q^3} = q^7 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Rivago
10-3 ist 7, das ist mir klar. Aber warum muss man das da so rechnen?

... mach dir doch einfach klar, was die Potenz bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \frac{q^{10}}{q^3} = \frac{q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q}{q \cdot q \cdot q} = q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = q^7 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das beantwortet die frühere Frage.

11.10.2013, 13:41

Rivago

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Ja also das ist mir schon bewusst. Mir ist nur nicht klar, wie man da sofort drauf kommt. Denn ich hab ja die $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ erstmal multipliziert und danach wieder dividiert, damit ich sie unter den Bruch bekommen hab. Also für mich stellt sich da die Frage nach dem Sinn, wenn ich erst multiplizier und danach den Schritt rückgängig mache, indem ich dividier. Da hätte man sich im Prinzip beide Schritt sparen können.

Das aus $\begin{eqnarray*} q^{10} \end{eqnarray*}$ dividiert $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ als Ergebnis $\begin{eqnarray*} q^7 \end{eqnarray*}$ rauskommt hab ich schon verstanden, Potenzgesetz.

11.10.2013, 13:57

chris_78

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Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} 64= \frac{2}{q^{3}} \cdot q^{10} |\cdot q^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64 \cdot q^{-3} = 2 \cdot q^{10} |: q^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64= \frac{2 \cdot q^{10}}{q^{3}} \end{eqnarray*}$

also erstmal war obiges auch falsch von Dir, blieb leider unkommentiert.

Vielmehr wäre korrekt:

$\begin{eqnarray*} 64= \frac{2}{q^{3}} \cdot q^{10} |\cdot q^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64 \cdot q^{3} = 2 \cdot q^{10} |: q^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64= \frac{2 \cdot q^{10}}{q^{3}} \end{eqnarray*}$

Allerdings braucht man natürlich nicht erst mit q^3 multiplizieren und das dann wieder rückgängig machen durch das dividieren. Die q^10 kann man auch gleich in den Zähler des Bruches schreiben, denn
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{q^{3}} \cdot q^{10}=\frac{2 \cdot q^{10}}{q^{3}} \end{eqnarray*}$
Braucht man natürlich nichtmal so aufschreiben, man kann auch einfach gleich das Potenzgesetz verwenden, wenn einem dies klar ist.

12.10.2013, 18:43

Rivago

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Woher weiß ich denn das ich die $\begin{eqnarray*} q^{10} \end{eqnarray*}$ in den Zähler schreiben kann? Also warum ist es so:

$\begin{eqnarray*} 64=\frac{2 \cdot q^{10}}{q^{3}} \end{eqnarray*}$

und nicht so:

$\begin{eqnarray*} 64=\frac{2}{q^{3} \cdot q^{10}} \end{eqnarray*}$

Also wenn ich die $\begin{eqnarray*} q^{3} \end{eqnarray*}$ nicht erst multiplizieren würde und danach dividieren, würde ich das nicht sehen, das $\begin{eqnarray*} q^{10} \end{eqnarray*}$ in den Zähler muss.

Und wieso war es denn falsch, das $\begin{eqnarray*} q^{3} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} q^{-3} \end{eqnarray*}$ wurde, nachdem ich es multipliziert habe? Wenn eine Potenz unter dem Bruchstrich positiv ist und nach oben geholt wird, wird sie doch negativ. Oder nicht?

13.10.2013, 17:50

chris_78

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Zitat:

Original von Rivago
Woher weiß ich denn das ich die $\begin{eqnarray*} q^{10} \end{eqnarray*}$ in den Zähler schreiben kann?

Wenn dieser Zusammenhang nicht klar ist solltest Du dich vielleicht nochmal mit dem Thema Brüche und der Bedeutung des Bruchstrichs beschäftigen.
Es wird ja schließlich mit q^10 multipliziert und nicht dividiert. Faktoren einer Multiplikation kann ich natürlich jederzeit auch auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben.

Zitat:

Original von RivagoUnd wieso war es denn falsch, das $\begin{eqnarray*} q^{3} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} q^{-3} \end{eqnarray*}$ wurde, nachdem ich es multipliziert habe? Wenn eine Potenz unter dem Bruchstrich positiv ist und nach oben geholt wird, wird sie doch negativ. Oder nicht?

Das stimmt zwar, aber Du holst die Potenz ja nicht mittels Termunformung auf der rechten Seite nach oben.
Sondern Du führtst bei der Gleichung eine Äquivalenzumformung durch und veränderst dadurch die Terme auf beiden Seiten der Gleichung, indem Du die Gleichung mit q^3 multiplizierst. Beim Term auf der rechten Seite kürzt sich demnach q^3 beim Term auf der linken Seite der Gleichung muss natürlich dann wie auf der rechten Seite auch mit q^3 multipliziert werden.

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