Grenzwert berechnen (Gamma-Funktion)

10.10.2013, 15:00	Binumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert berechnen (Gamma-Funktion) Meine Frage: Hallo liebe Forumsmitglieder! Ich versuche gerade folgenden Grenzwert zu bestimmen: $\begin{eqnarray} <br /> \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n/2)}{\sqrt{\pi}\sqrt{n}\Gamma((n-1)/2)}<br /> \end{eqnarray}$ Wobei es sich dabei um die Gamma-Funktion handelt. Meine Ideen: Bis jetzt habe ich den Ausdruck so umgeformt, dass ich folgendes erhalte: $\begin{eqnarray} <br /> \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(n-1)\left(\frac{n}{2}\right)!}{\sqrt{\pi}n^{3/2}\left(\frac{(n-1)}{2}\right)!}<br /> \end{eqnarray}$ Ich bin mir aber nicht sicher, ob das überhaupt was bringt. Laut Wolframalpha kommt der Grenzwert $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{\sqrt{2\pi}}<br /> \end{eqnarray}$ raus. Hat jemand einen Lösungsvorschlag für mein Problem? Vielen Dank!
11.10.2013, 01:19	Kgftbhh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert berechnen (Gamma-Funktion) Wenn n ungerade ist. Was meinst du dann mit (n/2)! Bzw für gerdaes n ist ((n-1)/2)! nicht sinnvoll. Diese Darstellung der Gammafunktion kannst du glaube ich hier nicht verwenden, sie gilt nur für natürliche Zahlen. Insbesondere also nicht für n/2 bei ungeradem n usw. Ich denke der Ansatz klappt so nicht.
11.10.2013, 14:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert berechnen (Gamma-Funktion) Mit $\begin{eqnarray} \Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \end{eqnarray}$ , der Regel $\begin{eqnarray} \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) \end{eqnarray}$ sowie dem Wallisschen Produkt gelangt man für $\begin{eqnarray} f(n) = \frac{\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)}{\sqrt{\pi n}~\Gamma\left( \frac{n-1}{2} \right)} \end{eqnarray}$ getrennt berechnet zu den Grenzwerten $\begin{eqnarray} \lim_{m\to \infty} f(2m) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{m\to \infty} f(2m+1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray}$ .
11.10.2013, 17:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansonsten gäbe es noch die Stirling-Formel.

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