Extrempunkte von 2sin(x)-cos(x)

Neue Frage »

blabliblub Auf diesen Beitrag antworten »
Extrempunkte von 2sin(x)-cos(x)
Meine Frage:
Hallo liebe Gemeinde,
also ich solle die Extrempunkte von f(x)=2sin(x)-cos(x) berechnen.
Ich weiß, dass f'(x)= sin(x)+ 2cos(x) ist.
Das setze ich dann gleich Null, nur weiß ich nicht, wie ich nach x auflöse rechnerisch.
Ich hab mir noch gedacht, dass sin^2(x)+cos^2(x)=1 sind
und habe dann in die FUnktion, nach dem ich sie quadriert habe, für cos^2 , 1-sin^2(x) eingesetzt habe.
Am Ende kam x1/2= sin^-1(Wurzel aus 4/3) raus, aber der graph im funktionsplotter sagt was anderes aus.
Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

LG

Meine Ideen:
f(x)=2sin(x)-cos(x)
f'(x)= 2cos(x)+sin(x)
sin^2(x)+cos^2(x)=1

f'(x)=0
2cos(x)+sin(x)=0
4cos^2(x)=sin^2(x)
4(1-sin^2(x)) = sin^2(x9
->x1/2 = sin^-1(+-Wurzel aus 4/5)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Vom Quadrieren würde ich hier eher abraten, denn da das keine Äquivalenzumformung ist (Lösungsmenge verändert sich dadurch), entstehen ggf. auch falsche Lösungen (Probe machen).

Solche Gleichungstypen löst man üblicherweise durch Division mit cos(x) für cos(x) ungleich null.
Dadurch kommt dann der Tangens ins Spiel.
Mathematikco Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst mal für die Antwort.

Ich habe das jetzt so aufgelöst:

2 cos(x) + sin(x) = 0 | /cos

2 + tan(x) = 0 | -2

tan(x) = -2 |tan^-1

x = tan^-1(-2)


Diese Nullstelle stimmt mit dem Graphen überein, aber die ist nur eine von unendnlichen Nullstellen, zudem hatte ich vergessen zu erwähnen, dass ich dir Nullstellen im Interval [0;2pi] berechnen sollte.

LG (mit neuem acc)


PS: habe gerade gemerkt, dass ich ja entgegen deines Rates gleich 0 durch cos(x) dividiert habe, aber wie mache ich das denn anders, ich will ja nun mal eine Nullstelle berechnen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
nur eine von unendnlichen Nullstellen, zudem hatte ich vergessen zu erwähnen, dass ich dir Nullstellen im Interval [0;2pi] berechnen sollte.


Naja in diesem konkreten Intervall gibt es dann ja nicht mehr unendlich viele Nullstellen. Augenzwinkern
Und tan^-1(-2) liegt ja z.B. gar nicht in dem Intervall.
Benutze die Periode vom Tangens für die passenden x-Werte und entscheide zudem auch ob du im Grad- oder Bogenmaß arbeiten willst.

Zitat:
dass ich ja entgegen deines Rates gleich 0 durch cos(x) dividiert habe


Ich habe nur gesagt, dass cos(x) bei Division nicht den Wert null annehmen darf.
Den Fall cos(x)=0 kann man aber eh ausschließen, da in diesem Fall die Gleichung eh nicht erfüllt ist.
Mathematikco Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Naja in diesem konkreten Intervall gibt es dann ja nicht mehr unendlich viele Nullstellen. Augenzwinkern
Und tan^-1(-2) liegt ja z.B. gar nicht in dem Intervall.
Benutze die Periode vom Tangens für die passenden x-Werte und entscheide zudem auch ob du im Grad- oder Bogenmaß arbeiten willst.


Da hast du Recht.
Tut mir leid, wenn ich jetzt so doof frage,
aber wie benutze ich denn die Periode vom Tangens für die passenden x-Werte?
Ich mein, ich hab doch einfach nach x aufgelöst, wie bestimmt man das denn für ein bestimmtes intervall. und wieso hatte ich dann nur eine nullstelle raus, wo ich das intervall nicht eingegrenzt habe? Big Laugh

Ich glaube, ich muss im Bogenmaß arbeiten, wenn ich ne nullstelle als x-koordianate heraushaben will, oder nicht?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber wie benutze ich denn die Periode vom Tangens für die passenden x-Werte?


Indem du sie einfach immer wieder auf dein Ergebnis draufaddierst, und dann guckst ob Werte entstehen, die auch in dem gegebenen Intervall liegen.

Was ist denn deiner Meinung nach die Periode vom Tangens ?
Falls du es nicht weißt, dann google es.

Zitat:
und wieso hatte ich dann nur eine nullstelle raus


Der Taschenrechner (zumindest wenn es ein ganz normaler ist) spuckt dir halt nur genau eine Lösung aus.

Zitat:
Ich glaube, ich muss im Bogenmaß arbeiten, wenn ich ne nullstelle als x-koordianate heraushaben will, oder nicht?


Wie gesagt, das kannst du dir aussuchen - du musst dich nur für eine Variante entscheiden.
Normalerweise ist der Taschenrechner auf DEG (Gradmaß) eingestellt.
Wenn du nichts auf Bogenmaß (RAD) umgestellt hast, dann würde ich auch weiterhin ruhig mit Gradmaß arbeiten.
In Gradmaß ist [0;2pi] nichts anderes als [0°;360°]
 
 
Mathematikco Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe es jetzt endlich.
Hab meinen Taschenrechner auf Rad umgestellt, und immer pi dazu addiert in dem Intervall.
Vielen Dank noch mal, bin glücklich, selbst darauf gekommen zu sein.

Schönen Abend weiterhin smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich, dass du es hinbekommen hast. Wink

Viel Erfolg weiterhin.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »



Die Summe zweier Sinusfunktionen der Periode , mit unterschiedlicher Phase und Amplitude ist wieder eine solche Sinusfunktion, im vorliegenden Fall ist das

mit .

An dieser Darstellung kann man dann unmittelbar die periodisch auftretenden Maxima/Minima/Nullstellen u.ä. ablesen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »