zweite Homologie von Flächen

10.10.2013, 19:54	Jayronic	Auf diesen Beitrag antworten »
zweite Homologie von Flächen Meine Frage: Hallo, es geht mir darum für orientierte und nicht orientierbare zusammenhängende kompakte Flächen (also 2-dimensionale reelle Mannigfaltigkeiten) mit oder ohne Rand (hauptsächlich ohne, aber mit wäre auch nett) die zweite Bettizahl auszurechnen, die definiert ist als die Dimension von $\begin{eqnarray} H_2(F,\mathbb Q) \end{eqnarray}$ . Nun habe ich schon in verschiedenen Quellen gelesen, dass gilt $\begin{eqnarray} dim H_2(F;\mathbb Q) = \begin{cases} 1 & F \textrm{ orientierbar} \\ 0 & F \textrm{ nicht orientierbar} \end{cases} \end{eqnarray}$ (vgl. etwa http://de.wikipedia.org/wiki/Bettizahl#Anschauung), jedoch konnte ich keinen Beweis oder wenigstens ordentliche Argumente dafür finden. Im orientierten Fall kann man sich wohl mit der Poincaré-Dualität aushelfen, welche dann besagt, dass die zweite Bettizahl mit der nullten übereinstimmt, welche bei zusammenhängenden Flächen eben gerade 1 ist. Das würde mir genügen. Allerdings fehlt mir eben der nicht orientierbare Fall... Meine Ideen: In der Vorlesung hatten wir simpliziale Homologie eingeführt. Das heißt für Flächen haben wir zunächst den Kettenkomplex $\begin{eqnarray} 0 \rightarrow C_2 \stackrel{\partial_2}\rightarrow C_1 \stackrel{\partial_1}\rightarrow C_0 \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} C_n \end{eqnarray}$ die Gruppe von formalen Summen von Abbildungen $\begin{eqnarray} a:\Delta_n \rightarrow F \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \Delta_n \end{eqnarray}$ das Standard-n-Simplex ist. Dann ist H_2 (mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ) der Raum $\begin{eqnarray} H_2(F) = \frac{ker(\partial_2)}{im(\partial_3)} = ker(\partial_2) \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \partial_3 \end{eqnarray}$ ja die Nullabbildung ist und nur {0} als Bild haben kann. Dann liefe meine Behauptung $\begin{eqnarray} H_2(F) = 0 \end{eqnarray}$ darauf hinaus zu zeigen, dass es keine 2-Zykel ohne Rand gibt. Das erscheint mir nicht unlogisch, aber die konkrete Beweisidee fehlt (außerdem sehe ich dann nicht, warum das für orientierte Flächen anders ist) und vielleicht tappe ich ja auch ganz im Dunkeln. Wäre also über jede Hilfe dankbar! =)
14.10.2013, 15:16	Jayronic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt tatsächlich diese Beweisidee verfolgt und bin in etwa so vorgegangen (vllt. kommentiert das ja nochmal jemand; oder es ist interessant für Leute, die aufgrund von Recherchen auf dieses Thema stoßen): Sei $\begin{eqnarray} c = \sum n_\sigma \sigma \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sigma : \Delta_2 \rightarrow F \end{eqnarray}$ eine 2-Kette mit $\begin{eqnarray} \partial_2(c) = 0 \end{eqnarray}$ , d.h. ohne Rand. Dann ist (mehr oder weniger) offensichtlich, dass c die ganze (zusammenhängende) Fläche abdecken muss, da sonst immer zwangsläufig ein Rand entsteht, d.h. $\begin{eqnarray} im(c) = \bigcup im(\sigma) = F \end{eqnarray}$ (oder c ist selbst 0, d.h. die obige Summe ist einfach leer). Zudem müssen die Kanten der Dreiecke, da wo sie sich überlappen gegenläufig orientiert sein, damit sich die Vorzeichen unter $\begin{eqnarray} \partial_2 \end{eqnarray}$ aufheben. Da das 2-Simplex $\begin{eqnarray} \Delta_2 \end{eqnarray}$ (als Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ) orientierbar ist, kann eine Orientierung für das Bild von c gewählt werden, indem man mit einem Simplex startet und über die Ränder, wie oben beschrieben, fortsetzt. Da nun $\begin{eqnarray} im(c) = F \end{eqnarray}$ , wäre damit eine Orientierung von F gegeben, die nicht existieren kann, wenn F nicht orientierbar ist (logisch ). Also folgt für F nicht or.bar aus $\begin{eqnarray} \partial_2 c = 0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 0=ker(\partial_2) = H_2(F;\mathbb Z) \end{eqnarray}$ , wie behauptet. Ich habe dann einfach mal behauptet dass $\begin{eqnarray} dim_{\mathbb Q} H_2(F;\mathbb Q) = rg_{\mathbb Z} H_2(F;\mathbb Z) \end{eqnarray}$ gilt... Warum das so ist, ist mir nicht ganz klar, aber egal...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »