vollständige Induktion |
10.10.2013, 23:50 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vollständige Induktion Hallo zusammen ich stehe bei folgenden Aufgaben auf dem Schlauch. Beweise mithilfe der vollständigen Induktion! 1^{2}+3^{2}+...+ (2n-1)^{2}=\frac{n*(2n-1)*(2n+1)}{3} für alle natürlichen Zahlen n. und 3*3!+4*4!+...+n*n!=(n-1)!-6 für alle natürlichen Zahlen \geq 3. Über eine Hilfestellung wäre ich Euch sehr dankbar Meine Ideen: Mein Ansatz zur ersten Aufgabe ist folgender. Wenn ich n=1 setze, sehe ich das die Formel für eins stimmt. Jetzt weiß ich, dass ich n+1 einsetzen muss. Links habe ich jetzt 1^{2}+3^{2}+...+ (2n-1)^{2}+(n+1) und rechts \frac{(n+1)*(2n+1-1)*(2n+1+1)}{3} . Rechts habe ich ja jetzt \frac{(n+1)*2n*(2n+2)}{3} . Meine Frage ist wie ich jetzt weiter machen muss? |
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11.10.2013, 00:09 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: vollständige Induktion Zuerst korrigiere Deine Formeln. Links hast Du bei (n+1) die Hochzahl vergessen, rechts musst Du (n+1) jedesmal klammern. Dann kannst Du die Linke Seite mit der Induktionsvoraussetzung (IV) umformen, bis die rechte Seite dasteht: nach der IV. Jetzt musst Du Bruch und Quadrat nur noch umformaen/zusammen bis die rechte Seite dasteht. Ebenso gehst Du bei der zweiten Aufgabe vor. |
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11.10.2013, 00:10 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke schön!!! |
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11.10.2013, 00:34 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab leider gerade erst gesehen, dass ich in den Formeln 2en vergessen habe: mit IV Sorry für den Tippfehler |
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11.10.2013, 17:10 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kurze Verständnisfrage. Wenn ich die erst Formel links um n+1 erweitere. Kommt (2n+1)² raus weil ich (2n-1)² habe? Und wieso reicht es nicht die rechte Formel mit n+1 zu erweitern. Wieso hier auch (2n+1)²? Hoffe die Fragen sind nicht allzu dumm Danke nochmal |
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11.10.2013, 18:33 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fragen ist nie dumm! Ich möchte MatheIstLustig nicht in die Suppe spucken und auch nicht gegen das Boardprinzip verstoßen, deswegen sage ich zur ersten Aufgabe erstmal nichts. Aber zur zweiten Aufgabe habe ich eine Frage: bzw. Ist die I.V. wirklich so formuliert? Ich frage nur deswegen, weil: Und das ist offensichtlich nicht dasgleiche ... Poste mal die zweite Aufgabe in LaTeX! Vlt. habe ich die I.V. auch falsch gelesen. edit von sulo: Vollzitat entfernt. |
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11.10.2013, 18:48 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein Fehler. Bei der zweiten Aufgabe kommt anstatt ...=(n-1)!-6 folgendes 3*3!+4*4!+...+n*n!=(n+1)!-6 sorry |
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11.10.2013, 18:52 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: vollständige Induktion Bin gerade dabei den Workshop vollständige Induktion durch zugehen, deswegen kommt gerade kein bzw weiterer Ansatz von mir. |
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11.10.2013, 20:34 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, das sieht schon besser aus. So klappt es auch mit dem I.A. mit . Für den I.S. gebe ich dir folgenden Tipp: zu zeigen: Bevor ich etwas zur Aufgabe 1 sage, warten wir nochmal ein bischen ab, ob sich MatheIstLustig nochmal meldet. |
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11.10.2013, 20:38 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bevor ich etwas zur Aufgabe 1 sage, warten wir nochmal ein bischen ab, ob sich MatheIstLustig nochmal meldet. [/quote] OK danke;-) |
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11.10.2013, 20:48 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt zwei Varianten zu verstehen, warum (2n+1)² ergänzt werden muss: 1. Du summierst nur die Quadrate der ungeraden Zahlen (1;3;...; 2n-1). Die nächst ungerade Zahl ist dann 2n+1. 2. Wenn Du die Behaupptung für (n+1) aufschreiben willst, musst Du jedes n durch (n+1) ersetzen. Also auch auf der linken Seite |
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11.10.2013, 20:50 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sehe ich das richtig, dass ich beweisen muss, dass (n+1)!-6+(n+1) das selbe ist wie (n+2)!-6 |
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11.10.2013, 20:53 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke |
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11.10.2013, 21:03 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Matheistlustig habe ich es richtig verstanden, dass wegen 1²+3²+... mit (2n+1)² erweitern muss da es praktisch die übernächste Zahl sein muss |
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11.10.2013, 21:09 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, du brauchst als nächstes das übernächste Quadrat. |
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11.10.2013, 22:05 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich habe bei der ersten Aufgabe also einmal \frac{n*(2n-1)*(2n+1)}{3}+(2n+1)^{2} und \frac{(2n+1)^{2}*(2*(2n+1)^{2}-1)*(2*(2n+1)^{2}+1) }{3} beweisen muss ich jetzt, dass das zweite gleich dem ersten ist, oder? |
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11.10.2013, 22:18 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die erste Seite ist so richtig. Bei der zweiten Seite musst Du aufpassen. Hier haben wir keine regelmäßige Zahlenfolge, sondern einen Term. Da kannst Du nur für jedes n (n+1) einsetzen (mit Klammern). |
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11.10.2013, 22:34 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
\frac{(n+1)*(2n+1-1)*(2n+1+1)}{3} also habe ich das hier |
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11.10.2013, 22:37 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber mit Klammern |
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11.10.2013, 22:42 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
[quote]Original von MatheIstLustig Aber mit Klammern ach ja danke |
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11.10.2013, 23:18 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe jetzt die eine Seite umgeformt jetzt muss ich noch umformen |
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11.10.2013, 23:32 | MatheIstLustig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sieht doch sehr gut aus...
und dann steht hoffentlich identisches da! |
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11.10.2013, 23:37 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vielen Dank nochmal den rest erledige ich morgen. Da werden nur sicherlich noch Fragen zu der anderen Aufgabe auftreten. schönen Abend noch |
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12.10.2013, 00:39 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Beim I.S. ergibt sich für : Außerdem: Das, was du im I.S. beweisen musst, habe ich dir unter zu zeigen gepostet. Bis morgen. |
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12.10.2013, 21:56 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@olikanoli : Hast du es hinbekommen? Kurze Rückmeldung wäre nett. |
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13.10.2013, 00:06 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
habe mich noch nicht dran gegeben. ich musste heute sehr lange arbeiten, heute kommen Ergebnisse danke an alle für die Hilfe und die Ansätze |
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13.10.2013, 14:24 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich stehe ein wenig auf dem Schlauch, ich habe ja den Ausdruck behandel ich den Ausdruck wie eine binomische Formel? oder kann ich hier (n+1) ausklammern? Mein Kopf ist echt eingerostet ;-) ich denke mal der Ansatz ist vollkommen falsch |
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13.10.2013, 15:40 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe deine Frage nicht. Ich glaube du stehst wirklich auf dem Schlauch. Ist nicht böse gemeint. Rechte Seite laut I.V.: zu zeigen im I.S. nach : und genau das hast du ja schon raus:
Aufgabe gelöst. Jubeln. Wie steht's mit der zweiten Aufgabe? |
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13.10.2013, 15:48 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also muss ich nicht mehr nach umformen?...Super dann werde ich mir das mal schön ausführlich aufschreiben und mich dann an die nächste Aufgabe begeben...Danke |
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13.10.2013, 15:54 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Induktionsschluss musst du das hier zeigen: Und anscheinend hast du das ja schon gemacht. Kannst aber gerne nochmal deinen ganzen I.S. posten. |
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13.10.2013, 16:29 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Induktionsanfang: Für n=1 ist n=1 Induktionsvoraussetztung: Induktionsschluss: auf der rechten Seite steht zu zeigen ist Es gilt: |
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13.10.2013, 16:30 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es hoffentlich vollständig! Kurz nen Kaffeetrinken dann weiter zur nächsten |
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13.10.2013, 16:58 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch eine Anmerkung von mir. Das hier ist streng genommen falsch formuliert. Ausgehend davon, dass die Laufvariable von bis hochgezählt wird, müsste es eigentlich heißen: Das andere kann mißverstanden werden, z.B. so: Und das ist nicht dasgleiche. Das nur nebenbei. |
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13.10.2013, 17:01 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann warte ich mal auf deine Lösung zur zweiten Aufgabe. |
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13.10.2013, 17:26 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
meine kurze Zwischenfrage zu Aufgabe 2 ist - ich kann doch bestimmt den Ausdruck noch ein bisschen zusammenfassen, oder? |
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13.10.2013, 17:43 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich bin jetzt bis hierhin gekommen IA Für n=3 =18 IV IS rechts habe ich zu zeigen ist weiter komme ich jetzt gerade nicht |
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13.10.2013, 17:51 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast das Fakultätszeichen unterschlagen von der I.V. Aber ansonsten hast du es fast. Kleiner Tipp: |
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13.10.2013, 18:09 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
stimmt danke(!) ???? was mache ich mit kann ja nicht sein |
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13.10.2013, 18:49 | olikanoli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
weiter vorne im Thread hat du stehen. Das Hilft mir nur auch gerade nicht. |
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13.10.2013, 19:52 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, es geht darum auszuklammern. Also: Einfach ausklammern. |
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