vollständige Induktion

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olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion
Meine Frage:
Hallo zusammen ich stehe bei folgenden Aufgaben auf dem Schlauch.
Beweise mithilfe der vollständigen Induktion!

1^{2}+3^{2}+...+ (2n-1)^{2}=\frac{n*(2n-1)*(2n+1)}{3}
für alle natürlichen Zahlen n.
und

3*3!+4*4!+...+n*n!=(n-1)!-6
für alle natürlichen Zahlen \geq 3.

Über eine Hilfestellung wäre ich Euch sehr dankbar

Meine Ideen:
Mein Ansatz zur ersten Aufgabe ist folgender.

Wenn ich n=1 setze, sehe ich das die Formel für eins stimmt. Jetzt weiß ich, dass ich n+1 einsetzen muss.
Links habe ich jetzt 1^{2}+3^{2}+...+ (2n-1)^{2}+(n+1) und rechts
\frac{(n+1)*(2n+1-1)*(2n+1+1)}{3} .
Rechts habe ich ja jetzt \frac{(n+1)*2n*(2n+2)}{3} .

Meine Frage ist wie ich jetzt weiter machen muss?
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion
Zuerst korrigiere Deine Formeln. Links hast Du bei (n+1) die Hochzahl vergessen, rechts musst Du (n+1) jedesmal klammern.
Dann kannst Du die Linke Seite mit der Induktionsvoraussetzung (IV) umformen, bis die rechte Seite dasteht:


nach der IV.
Jetzt musst Du Bruch und Quadrat nur noch umformaen/zusammen bis die rechte Seite dasteht.

Ebenso gehst Du bei der zweiten Aufgabe vor.
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

danke schön!!!
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Hab leider gerade erst gesehen, dass ich in den Formeln 2en vergessen habe:
mit IV
Sorry für den Tippfehler
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Verständnisfrage. Wenn ich die erst Formel links um n+1 erweitere. Kommt
(2n+1)² raus weil ich (2n-1)² habe? Und wieso reicht es nicht die rechte Formel mit n+1 zu erweitern. Wieso hier auch (2n+1)²?

Hoffe die Fragen sind nicht allzu dumm verwirrt

Danke nochmal
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Fragen ist nie dumm! Augenzwinkern

Ich möchte MatheIstLustig nicht in die Suppe spucken und auch nicht gegen das Boardprinzip verstoßen, deswegen sage ich zur ersten Aufgabe erstmal nichts.
Aber zur zweiten Aufgabe habe ich eine Frage:



bzw.



Ist die I.V. wirklich so formuliert?
Ich frage nur deswegen, weil:







Und das ist offensichtlich nicht dasgleiche ...

Poste mal die zweite Aufgabe in LaTeX! Vlt. habe ich die I.V. auch falsch gelesen.


edit von sulo: Vollzitat entfernt.
 
 
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Fehler.

Bei der zweiten Aufgabe kommt anstatt ...=(n-1)!-6 folgendes

3*3!+4*4!+...+n*n!=(n+1)!-6

sorry
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion
Bin gerade dabei den Workshop vollständige Induktion durch zugehen, deswegen kommt gerade kein bzw weiterer Ansatz von mir.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olikanoli
Mein Fehler.

Bei der zweiten Aufgabe kommt anstatt ...=(n-1)!-6 folgendes

3*3!+4*4!+...+n*n!=(n+1)!-6

sorry


Ok, das sieht schon besser aus. So klappt es auch mit dem I.A. mit .
Für den I.S. gebe ich dir folgenden Tipp:

zu zeigen:















Bevor ich etwas zur Aufgabe 1 sage, warten wir nochmal ein bischen ab, ob sich MatheIstLustig nochmal meldet. Augenzwinkern
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich etwas zur Aufgabe 1 sage, warten wir nochmal ein bischen ab, ob sich MatheIstLustig nochmal meldet. Augenzwinkern [/quote]


OK danke;-)
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt zwei Varianten zu verstehen, warum (2n+1)² ergänzt werden muss:
1. Du summierst nur die Quadrate der ungeraden Zahlen (1;3;...; 2n-1). Die nächst ungerade Zahl ist dann 2n+1.
2. Wenn Du die Behaupptung für (n+1) aufschreiben willst, musst Du jedes n durch (n+1) ersetzen. Also auch auf der linken Seite
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich das richtig, dass ich beweisen muss, dass (n+1)!-6+(n+1) das selbe ist wie (n+2)!-6
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

danke smile
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

@ Matheistlustig habe ich es richtig verstanden, dass wegen 1²+3²+... mit (2n+1)² erweitern muss da es praktisch die übernächste Zahl sein muss
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, du brauchst als nächstes das übernächste Quadrat.
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe bei der ersten Aufgabe also einmal

\frac{n*(2n-1)*(2n+1)}{3}+(2n+1)^{2} und


\frac{(2n+1)^{2}*(2*(2n+1)^{2}-1)*(2*(2n+1)^{2}+1) }{3}


beweisen muss ich jetzt, dass das zweite gleich dem ersten ist, oder?
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Seite ist so richtig.
Bei der zweiten Seite musst Du aufpassen. Hier haben wir keine regelmäßige Zahlenfolge, sondern einen Term. Da kannst Du nur für jedes n (n+1) einsetzen (mit Klammern).
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

\frac{(n+1)*(2n+1-1)*(2n+1+1)}{3}

also habe ich das hier
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Aber mit Klammern
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von MatheIstLustig
Aber mit Klammern


ach jaAugenzwinkern danke
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt die eine Seite umgeformt




jetzt muss ich

noch umformen
MatheIstLustig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olikanoli
Ich habe jetzt die eine Seite umgeformt


Sieht doch sehr gut aus...

Zitat:
Original von olikanoli

jetzt muss ich

noch umformen


und dann steht hoffentlich identisches da!
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank nochmal den rest erledige ich morgen. Da werden nur sicherlich noch Fragen zu der anderen Aufgabe auftreten.

schönen Abend noch
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olikanoli
Sehe ich das richtig, dass ich beweisen muss, dass (n+1)!-6+(n+1) das selbe ist wie (n+2)!-6


Nein. Beim I.S. ergibt sich für :



Außerdem:



Das, was du im I.S. beweisen musst, habe ich dir unter zu zeigen gepostet.
Bis morgen. Augenzwinkern
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

@olikanoli :

Hast du es hinbekommen? Kurze Rückmeldung wäre nett. Augenzwinkern
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

habe mich noch nicht dran gegeben. ich musste heute sehr lange arbeiten, heute kommen Ergebnisse

danke an alle für die Hilfe und die Ansätze
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stehe ein wenig auf dem Schlauch, ich habe ja den Ausdruck

behandel ich den Ausdruck
wie eine binomische Formel?
oder kann ich hier (n+1) ausklammern?

Mein Kopf ist echt eingerostet ;-)

ich denke mal der Ansatz

ist vollkommen falsch
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe deine Frage nicht. Ich glaube du stehst wirklich auf dem Schlauch. Augenzwinkern Ist nicht böse gemeint.

Rechte Seite laut I.V.:



zu zeigen im I.S. nach :



und genau das hast du ja schon raus:

Zitat:
Original von olikanoli
Ich stehe ein wenig auf dem Schlauch, ich habe ja den Ausdruck

...


Aufgabe gelöst. Jubeln. Augenzwinkern

Wie steht's mit der zweiten Aufgabe?
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich

nicht mehr nach



umformen?...Super


dann werde ich mir das mal schön ausführlich aufschreiben und mich dann an die nächste Aufgabe begeben...Danke smile
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Im Induktionsschluss musst du das hier zeigen:



Und anscheinend hast du das ja schon gemacht.
Kannst aber gerne nochmal deinen ganzen I.S. posten. Augenzwinkern
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsanfang: Für n=1 ist

n=1
Induktionsvoraussetztung:


Induktionsschluss:
auf der rechten Seite steht


zu zeigen ist


Es gilt:

olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es hoffentlich vollständig!

Kurz nen Kaffeetrinken dann weiter zur nächsten
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Anmerkung von mir. Das hier



ist streng genommen falsch formuliert.
Ausgehend davon, dass die Laufvariable von bis hochgezählt wird, müsste es eigentlich heißen:



Das andere kann mißverstanden werden, z.B. so:





Und das ist nicht dasgleiche. Das nur nebenbei. Augenzwinkern
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olikanoli
So ist es hoffentlich vollständig!

Kurz nen Kaffeetrinken dann weiter zur nächsten


Dann warte ich mal auf deine Lösung zur zweiten Aufgabe. Augenzwinkern
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

meine kurze Zwischenfrage zu Aufgabe 2 ist -

ich kann doch bestimmt den Ausdruck


noch ein bisschen zusammenfassen, oder?
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

also ich bin jetzt bis hierhin gekommen
IA Für n=3

=18
IV

IS

rechts habe ich

zu zeigen ist




weiter komme ich jetzt gerade nicht
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olikanoli
..
zu zeigen ist




weiter komme ich jetzt gerade nicht


Du hast das Fakultätszeichen unterschlagen von der I.V.
Aber ansonsten hast du es fast. Augenzwinkern

Kleiner Tipp:









olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt danke(!)

????

was mache ich mit


kann ja nicht sein
olikanoli Auf diesen Beitrag antworten »

weiter vorne im Thread hat du

stehen. Das Hilft mir nur auch gerade nicht.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von olikanoli
... was mache ich mit

...


Naja, es geht darum auszuklammern.
Also:







Einfach ausklammern.
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