Satz zur Einschließung zwischen Treppenfunktionen

11.10.2013, 11:58	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz zur Einschließung zwischen Treppenfunktionen Moin, ich bekomme nicht hin folgende Implikation zu zeigen: Sei $\begin{eqnarray} f:[a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . Es gebe zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ Treppenfunktionen $\begin{eqnarray} \varphi , \psi [a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \varphi(x)\leq f(x) \leq \psi (x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in [a,b] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_a^b \psi(x) \ dx -\int_a^b \varphi(x) \ dx \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist riemann integrierbar. Beweisversuch: Sei $\begin{eqnarray} \tau [a,b] \end{eqnarray}$ die Menge aller Treppenfunktionen $\begin{eqnarray} \varphi: [a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overset {}{\int_a^b} f(x) \ dx := inf \left\{ \int_a^b \varphi (x) \ dx : \varphi \in \tau [a,b], \varphi \geq f \right\} \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \underset {}{\int_a^b} f(x) \ dx := sup \left\{ \int_a^b \varphi (x) \ dx : \varphi \in \tau [a,b], \varphi \leq f \right\} \end{eqnarray}$ (Def. von riemann-integrierbar). Nach Vorraussetzung gibt es zu $\begin{eqnarray} \frac 1 n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n>0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \varphi_n , \psi_n \in \tau [a,b] \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \varphi_n\leq f \leq \psi_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_a^b \psi_n(x) \ dx -\int_a^b \varphi_n(x) \ dx \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ . jetzt hab ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left( \int_a^b \psi_n(x) \ dx -\int_a^b \varphi_n(x) \ dx \right) =0 \end{eqnarray}$ Aber um jetzt zu zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \int_a^b \psi_n(x) \ dx= \lim_{n \to \infty} \int_a^b \varphi_n(x) \ dx \end{eqnarray}$ muss ich ja jetzt erstmal zeigen, dass die beiden Folgen für sich alleine konvergieren. In meinem Buch steht, dass die Implikation direkt aus der Definition von Supremum und Infimum folgt. Den weg kann ich aber nicht sehen. Wie würde der gehen.
11.10.2013, 15:41	Kühlschrank	Auf diesen Beitrag antworten »
Editierfunktion ist doof, hätte den vorigen Beitrag gerne gelöscht, jetzt konnte ich ihn nicht mal mehr bearbeiten, weil ich zu lange beim Tippen gebraucht habe ^^* Ich hab ihn für Dich gelöscht. User mit weniger als 100 Beiträgen dürfen nur eine Viertelstunde lang nacheditieren. Schreib also fleißig weiter... Steffen Naja, dann so: Ich glaube mein Ansatz ist gleich etwas komplizierter als nötig, aber was besseres fällt mir gerade nicht ein... Betrachte mal $\begin{eqnarray} \Phi := \left\{ \varphi \in \tau [a,b] \mid \varphi \leq f \right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Psi := \left\{ \psi \in \tau [a,b] \mid f \leq \psi \right\} \end{eqnarray}$ . Klarerweise ist $\begin{eqnarray} \sup _{\varphi \in \Phi} \int _a^b \varphi (x) dx \leq \inf _{\psi \in \Psi} \int _a^b \psi (x) dx \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} \Phi \neq \emptyset \neq \Psi \end{eqnarray}$ existieren diese beiden Werte. Definiert man jetzt $\begin{eqnarray} \varphi _n , \psi _n \end{eqnarray}$ wie du es getan hast, gilt sicherlich $\begin{eqnarray} (\varphi) _{n\in\mathbb{N}} \subseteq \Phi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (\psi) _{n\in\mathbb{N}} \subseteq \Psi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim _{n\to \infty} \int _a^b \varphi _{n}(x) dx \leq \sup _{\varphi \in \Phi} \int _a^b \varphi (x) dx \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} \inf _{\psi \in \Psi} \int _a^b \psi (x) dx \leq \lim _{n\to \infty} \int _a^b \psi _n (x) dx \end{eqnarray}$ . Um jetzt zu zeigen, dass die beiden Folgen konvergieren genügt es zu zeigen, dass du zu jeder Teilfolge eine konvergente Teilteilfolge finden kannst. Da die beiden Folgen aber durch die jeweils andere nach oben (bzw. nach unten) beschränkt sind, wäre es daher super, wenn man zeigen könnte, dass es für jede Teilfolge $\begin{eqnarray} \int_a^b \varphi_{n_k} \end{eqnarray}$ eine monoton wachsende Teilteilfolge $\begin{eqnarray} \int_a^b \varphi _{n_{k_{\ell}}} \end{eqnarray}$ gibt. Dann wären wir fertig. Nimmt man hingegen an, dass eine solche Folge $\begin{eqnarray} \int_a^b \varphi _{n_{k_{\ell}}} \end{eqnarray}$ nicht existiert, kannst du dir ja dann mal überlegen, was das dann über die Folge $\begin{eqnarray} \int_a^b \psi _{n_{k_{\ell}}} \end{eqnarray}$ aussagt, womit du dann wieder Rückschlüsse über $\begin{eqnarray} \int_a^b \varphi _{n_{k_{\ell}}} \end{eqnarray}$ ziehen kannst. Wie gesagt, ist glaube ich etwas komplizierter, als nötig ^^*
11.10.2013, 20:19	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo danke hab das jetzt auch so ähnlich gemacht. Ich hätte noch eine Frage zu der Definition einer Treppenfunktion. Die Definition aus meinem Buch lautet wie folgt: $\begin{eqnarray} Seien \ a < b \ reelle \ Zahlen. \ Eine \ Funktion \ \varphi:[a,b] \rightarrow \mathbb R \ heißt \ Treppenfukntion, \ wenn \ es \ eine \ Unterteilung \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ a = t_0 < t_1 < ... < t_{n-1} < t_n = b \ des \ Intervalls \ [a,b] \ und \ Konstanten \ c_1,c_2,...,c_n \in \mathbb R \ gibt, \ so \ dass \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi(x)=c_k \ fuer \ alle \ x \in ]t_{k-1},t_k[, \ \ (1 \leq k \leq n). Die \ Funktionswerte \ in \ den \ Teilpunkten \ t_k \ sind \ beliebig. \end{eqnarray}$ Da steht doch drin, dass die Treppenfunktion nur endlich viele Werte annimmt. Wobei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und die Treppenfunktion höchstens $\begin{eqnarray} 2 n+1 \end{eqnarray}$ Werte annehmen kann oder ?
11.10.2013, 22:11	Kühlschrank	Auf diesen Beitrag antworten »
Jepp, das stimmt soweit

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