Kompositionsreihe der GL(n,K)

12.10.2013, 12:57	LP 43	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompositionsreihe der GL(n,K) Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne zeigen, dass die GL(n,K) genau dann eine Kompositionsreihe besitzt, wenn K endlich ist. Meine Ideen: Ich habe dazu den Hinweis erhalten, dass ich die Untergruppe $\begin{eqnarray} U:= \{ \begin{pmatrix} x & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & x \end{pmatrix} \mid x \in K \} \end{eqnarray}$ betrachten soll. Jetzt weiß ich aber, dass Gl(n,K) endlich ist, wenn K endlich ist, und somit, da ja jede endliche Gruppe eine Kompositionsreihe besitzt, auch die eine Implikation gilt. Also brauch ich den Hinweiß für die andere Richtung? Wenn ja, wie kann ich denn weiter vorgehen. Ich weiß, dass U ein Normalteiler ist und sogar im Zentrum liegt, aber bringt mir das was? Vielden Dank für eure Hilfe
14.10.2013, 14:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
U ist ja nun abelsche Gruppe (genauer gesagt ist $\begin{eqnarray} U=K^ \end{eqnarray*}$ ). Abelsche Gruppen mit Kompositionsreihen sind jedoch endlich (sehr leicht zu zeigen).
14.10.2013, 14:22	LP 43	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Das Problem wäre hierbei jedoch, dass ich noch zeigen müsste, dass $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein maximaler Normateiler ist oder äquivalent dazu, dass $\begin{eqnarray} G/U \end{eqnarray}$ einfach ist. Mal angenommen ich hab das. Und $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist unendlich. Dann könnte es doch eine Kompositionsreihe über andere Untergruppen geben. Ich weiß ja dann nur ungefähr, wie alle Kompositionsreihen im endlichen Fall ausgehen.
14.10.2013, 22:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat eine Gruppe eine Kompositionsreihe, so auch jeder Normalteiler dieser Gruppe. Mehr noch: Es lässt sich sogar eine Kompositionsreihe finden, die über den Normalteiler verläuft.
15.10.2013, 18:25	LP 43	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh das ist natürlich ein Argument. Vielen Dank

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