Potenzreihen in rationale Funktionen umwandeln

12.10.2013, 21:40

voodoo

Potenzreihen in rationale Funktionen umwandeln

Ich hab probleme mit aufgaben dieser art.
man hat eine potenzreihe gegeben und soll diese in eine rationale funktion umwandeln...
ich habe leider keine ahnung, wie ich daran gehen soll...
z.B.:
für alle $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ konvergiert die Potenzreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (2n-1)x^n \end{eqnarray*}$
und definiert eine funktion $\begin{eqnarray*} f : (-1,1) \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Die funktion f ist eine rationale Funktion. Geben sie f(x), $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ , als rationalen Ausdruck an.

12.10.2013, 21:46

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RE: potenzreihen in rationale funktionen umwandeln
das hatten wir erst
Potenzreihe als rationale Funktion

12.10.2013, 22:27

voodoo

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RE: potenzreihen in rationale funktionen umwandeln
ok aber der tip hilft mir nicht weiter traurig

Zitat:

Original von URL
Geometrische Reihe und ihre Ableitung helfen.
Alternativ geometrische Reihe und ihr Cauchyprodukt mit sich selbst.

$\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ist hier doch die geometrische reihe...
ja aber was bringt denn das???
wie macht man denn im algemeinem aus einer potenzreihe einen rationalen ausdruck???

edit:
aha!!
ausmultiplizieren bringt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (2n-1)x^n = \sum\limits_{n=1}^\infty 2nx^n - x^n \end{eqnarray*}$
und dann können wir das auseinanderziehen und zumindest schonmal
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ berechnen oder??

was aber ist dann $\begin{eqnarray*} 2nx^n \end{eqnarray*}$ ??? die 2 können wir rausziehen aber der rest??

13.10.2013, 16:49

micha_L

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RE: potenzreihen in rationale funktionen umwandeln
Hallo,

Zitat:

Original von voodoo
[...]
was aber ist dann $\begin{eqnarray*} 2nx^n \end{eqnarray*}$ ??? die 2 können wir rausziehen aber der rest??

Bedenke: $\begin{eqnarray*} nx^n=(n+1)x^n-x^n \end{eqnarray*}$

Das kann man dann auseinanderziehen. Woran erinnert dich der erste Summand? Siehe dazu!

Mfg Michael

13.10.2013, 16:50

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RE: potenzreihen in rationale funktionen umwandeln
Dabei hilft der zweite Teil des Hinweises: (gliedweise) Ableitung der geometrischen Reihe oder alternativ ihr Cauchyprodukt mit sich selbst.

13.10.2013, 17:36

voodoo

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ne sorry... ich checks nicht unglücklich

13.10.2013, 18:30

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Für $\begin{eqnarray*} f(x):=\sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} xf'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n} \end{eqnarray*}$ also

13.10.2013, 18:55

voodoo

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ja aber das ist doch immernoch eine reihe???

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty nx^n = x \sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

ja und was mach ich nu mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} \end{eqnarray*}$
es ist doch immernoch eine reihe... wie kriege ich das ding in eine rationale funktion umgewandelt?

13.10.2013, 19:04

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Nimm doch die linke Seite meiner Gleichung smile

Du kennst die Darstellung von f als rationale Funktion und kannst damit $\begin{eqnarray*} xf'(x) \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

13.10.2013, 19:38

voodoo

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ok also die ausgangsreihe war ja:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (2n-1)x^n = \sum\limits_{n=1}^\infty 2nx^n - \sum\limits_{n=1}^\infty x^n = 2\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n - \frac{1}{1-x} \\ = 2x\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} - \frac{1}{1-x} = \frac{2x}{(x-1)^2} - \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

so in etwa??

13.10.2013, 19:51

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ja, fast.
ein Fehler ist noch drin, schau dir mal die untere Summationsgrenze an.

13.10.2013, 20:56

voodoo

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (2n-1)x^n = 2x\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1} - \frac{1}{1-x} = \frac{2x}{(x-1)^2} - \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

oder muss ich dann noch ne indexverschiebung machen??

13.10.2013, 20:58

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Du verwendest $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$
und das ist falsch

13.10.2013, 22:49

voodoo

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jetzt ist das problem ja nur noch bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty nx^n \end{eqnarray*}$

mein problem ist hier vor allem, dass das x^n ja eigentlich so eine geometrische reihe ist. das n davor stört aber gewaltig...

13.10.2013, 23:10

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Zitat:

ist nur leider teilweise falsch unglücklich

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1} \neq \frac{1}{1-x} -x<br /> \end{eqnarray*}$
Richtig wäre
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1} = \frac{x}{1-x}<br /> \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von voodoo
jetzt ist das problem ja nur noch bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty nx^n \end{eqnarray*}$

mein problem ist hier vor allem, dass das x^n ja eigentlich so eine geometrische reihe ist. das n davor stört aber gewaltig...

Was machst du denn?? $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty nx^n \end{eqnarray*}$ hast du doch vorhin über $\begin{eqnarray*} xf'(x)=\frac{x}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$ erledigt.

14.10.2013, 00:36

voodoo

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (2n-1)x^n = \sum\limits_{n=1}^\infty 2nx^n - \sum\limits_{n=1}^\infty x^n = \sum\limits_{n=1}^\infty 2nx^n - \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1} =\\ \sum\limits_{n=1}^\infty 2nx^n - \frac{x}{1-x} = 2\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n - \frac{x}{1-x} = 2x \sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} - \frac{x}{1-x} \\ = 2x\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} - \frac{x}{1-x} = 2x\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n - \frac{x}{1-x} = \\ 2x\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n - \frac{x}{1-x} = 2x\sum\limits_{n=0}^\infty nx^n + \frac{1}{1-x} - \frac{x}{1-x} = \\ 2x^2 \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1} + \frac{1}{1-x} - \frac{x}{1-x} = 2x^2\left(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n \right)' + \frac{1}{1-x} - \frac{x}{1-x} \\ = 2x^2\left(\frac{1}{1-x} \right)' + \frac{1}{1-x} - \frac{x}{1-x} = \frac{2x^2}{(1-x)^2} + 1 \end{eqnarray*}$

öhmmmm ich bin mir jetzt nicht mehr so sicher bei den ganzen umformungen und indexverschiebungen...

15.10.2013, 23:14

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Zitat:

Original von voodoo
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (2n-1)x^n = \sum\limits_{n=1}^\infty 2nx^n - \sum\limits_{n=1}^\infty x^n = \sum\limits_{n=1}^\infty 2nx^n - \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1} =\\ \sum\limits_{n=1}^\infty 2nx^n - \frac{x}{1-x} = 2\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n - \frac{x}{1-x} = 2x \sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} - \frac{x}{1-x} \\ = 2x\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} - \frac{x}{1-x} = 2x\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n - \frac{x}{1-x} = \\ 2x\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^n - \frac{x}{1-x} = 2x\sum\limits_{n=0}^\infty nx^n + \frac{\textcolor{red}{2x}}{1-x} - \frac{x}{1-x} = \ldots \end{eqnarray*}$

Das ist aber alles recht umständlich: Mit $\begin{eqnarray*} f(x):=\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (2n-1)x^n = 2\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n - \sum\limits_{n=1}^\infty x^n = 2 x f'(x)- (f(x)-1) \end{eqnarray*}$ . Jetzt noch f und f' einsetzen und das war's

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