Präkompaktheit

12.10.2013, 22:36

Kegorus

Präkompaktheit

Meine Frage:
In einem metrischen Raum ist eine Menge A genau dann präkompakt, wenn jede Folge in A eine Teilfolge besitzt, die Cauchyfolge ist.

Meine Ideen:
Mir fehlt noch die Folgerung "von rechts nach links".
Zur Erklärung: Eine Menge A heißt präkompakt, wenn es für alle Epsilon größer null eine Überdeckung von A aus endlich vielen Epsilon Kugeln gibt.

13.10.2013, 00:04

Guppi12

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Hallo,

nimm an, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei nicht präkompakt. Dann gibt es $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ , so dass sich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht mit $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Bällen überdecken lässt. Definiere dir dann eine Folge durch:
erstmal $\begin{eqnarray*} x_1\in A \end{eqnarray*}$ beliebig. Wegen obiger Eigenschaft findest du $\begin{eqnarray*} x_2\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_2\not\in B(x_1, \epsilon) \end{eqnarray*}$ . Das kannst du fortsetzen. Du findest immer $\begin{eqnarray*} x_n\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1}B(x_i, \epsilon) \end{eqnarray*}$ . Dann musst du noch widerlegen, dass $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge hat, die Cauchyfolge ist.

Edit:
Ich fand es übrigens etwas anspruchsvoller, auf die richtige Idee für die Hinrichtung zu kommen. Super, dass du das so geschafft hast smile

Wenn du magst, kannst du deinen Beweis, wenn er fertig ist, hier posten. Dann schau ich mal drüber.

13.10.2013, 19:06

Kegorus

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Vielen Dank für deine Antwort! Eine Frage hab ich noch: A ist nicht präkompakt, das heißt es gibt zu mindestens einem Epislon keine endliche Überdeckung von A aus Epsilon Kugeln. Es kann also eine Überdeckung aus unendlich vielen Epsilon Kugeln geben oder nicht einmal das und dadurch ist A unendlich "groß"? Weil das muss doch der Fall sein, damit man die Folge so definieren kann..

"=>"

A ist präkompakt. Sei x_n Folge in A.
=> x_n ist auch in der endlichen Überdeckung von A.
=> Es gibt mindestens eine Delta Kugel der endlichen Überdeckung, die unendlich viele Folgenelemente enthält.
Betrachte nun die Teilfolge, die aus diesen Elementen besteht.
Wähle Epsilon=Delta/2
=> Für alle Epsilon größer Null gibt es ein n_0 aus N, sodass der Abstand von zwei Folgengliedern ab n_0 kleiner als Epsilon=2*Delta ist.

Für jedes Delta, was man für die Präkompaktheit angibt, erhält man also gleich ein Epsilon für die Cauchyfolge.

"<="

Was da noch fehlte war, wieso für jede Folge keine Cauchyfolge als teilfolge existiert.

d(x_i, x_j)>=Delta (Kugelradius) für alle i,j aus N, i ungleich j
=> Die Folge selbst und jede Teilfolge können keine CF sein.

Bin gespannt, was du dazu sagst Augenzwinkern

13.10.2013, 19:57

Guppi12

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Zitat:

Es kann also eine Überdeckung aus unendlich vielen Epsilon Kugeln geben oder nicht einmal das

Eine Überdeckung aus unendlich vielen Epsilon-Bällen ist durchaus möglich. Aber bei der Konstruktion der Folge gilt es ja, für endliche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ zu finden, das nicht in $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^{n-1}B(x_i, \epsilon) \end{eqnarray*}$ liegt. Das muss für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ möglich sein, da sonst ja diese Vereinigung eine endliche Überdeckung wäre. Letztendlich hat zwar die Folge unendlich viele Folgenglieder. Aber jedes einzelne Folgenglied hat nur endlich viele Vorgänger.

Zu der Hinrichtung:
Wenn ich das richtig verstehe, funktioniert das so leider nicht. Du wählst dir also erstmal $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ und betrachtest dann die Überdeckung aus $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ Bällen, die dir die Präkompaktheit dazu liefert. Dann folgerst du richtig, dass in einem dieser $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ Bälle unendlich viele Folgenglieder liegen und bastelst dir daraus eine Teilfolge. Wie aber zeigst du hier jetzt, dass diese Teilfolge Cauchyfolge ist?
Es sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben (das kannst du nicht selbst wählen, es kann insbesondere kleiner als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sein). Jetzt kannst du aber nicht mehr $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ neu wählen, da deine Teilfolge ja schon fest war und eine Veränderung des $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ auch deine Teilfolge wieder ändern würde.
Siehst du das Problem?

Zitat:

Für jedes Delta, was man für die Präkompaktheit angibt, erhält man also gleich ein Epsilon für die Cauchyfolge.

Das stimmt zwar, genügt aber nicht, da du für jedes $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ eine andere Teilfolge bekommen könntest und du somit nicht für eine feste Teilfolge zusichern kannst, dass die Cauchyeigenschaft gilt.

13.10.2013, 21:07

Kegorus

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Ja du hast vollkommen recht, so geht's leider nicht..
Hast du's geschafft?

13.10.2013, 21:21

Kegorus

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Und danke auch für die andere Erklärung, jetzt ist es mir klar Augenzwinkern

13.10.2013, 21:53

Guppi12

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Zitat:

Hast du's geschafft?

Ja, ich antworte grundsätzlich erst auf Threads, wenn ich die Fragestellung, um die es geht, selbst lösen kann Augenzwinkern

Ich bin so vorgegangen:
Sei eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gegeben.
Definiere dir dann eine Epsilon-Nullfolge $\begin{eqnarray*} (\epsilon_n)_{n\in\mathbb N} := \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ . Dazu definiert man induktiv Teilmengen $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} A_1 := A \end{eqnarray*}$ . Nun gibt es zu $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch Bälle von Radius $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 \end{eqnarray*}$ . In einem der $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ Bälle gibt es unendlich viele Folgenglieder. Setze den Schnitt dieses Epsilon-Balls mit $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ . Als Teilmenge einer präkompakten Menge ist $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ wieder präkompakt. Also finden wir zu $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ eine endliche Überdeckung mit $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 \end{eqnarray*}$ -Bällen, wo wieder in einem unendliche viele Folgenglieder liegen.
Auf diese Weise bekommt man eine Folge von Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} A_1 \supset A_2 \supset ... \end{eqnarray*}$ gilt und außerdem, dass der Radius von $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \epsilon_i \end{eqnarray*}$ ist. Außerdem liegen in jeder der Teilmengen unendlich viele Folgenglieder. Wählt man zu $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x_{n_i}\in A_i \end{eqnarray*}$ , wobei man noch fordern muss, dass der gewählte Index alle vorherigen übertrifft, kann man leicht zeigen, dass die so entstandene Folge eine Cauchyfolge ist.

13.10.2013, 22:35

Kegorus

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Vielen Dank, geniale Lösung^^
Hab noch paar Fragen: Mit Radius einer Menge ist gemeint, die Hälfte des Durchmessers(=maximaler Abstand aller Elemente)?
Und was meinst du damit: "der gewählte Index alle vorherigen übertrifft"
Wenn man zu einem A_i ein beliebiges Element wählt, wär das dann doch ein anderer Index, zB x_n_k oder?

13.10.2013, 23:19

Kegorus

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Passt, hab alles verstanden Tanzen

Aber es gehört glaub ich:
Radius von A_i kleiner gleich Epsilon_i-1

14.10.2013, 00:05

Guppi12

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Ich wollte hauptsächlich das Prinzip wiedergeben. Hatte es beim Posten der Lösung eilig, deswegen habe ich nicht so genau drauf geachtet was genau kleiner als was sein muss. Das Prinzip ist ja rübergekommen Augenzwinkern

Lg Guppi12

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