Höhenschnittpunkt ermitteln

13.10.2013, 17:48

Koordifritzl

Höhenschnittpunkt ermitteln

Hallo nochmals,

Habe ich die folgende AUfgabe richtig bearbeitet?:

Ich habe drei Punkte gegeben, die ich einfach mal A B und C nennen möchte:

A = (-8, 1)
B = (7, -4)
C = (4, 8)

Ich soll nun den Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks (= Höhenschnittpunkt) berechnen [mittels Vektorenrechnung!]

Ich bin so vorgegangen:

1.) Zwei Geraden werden aufgestellt, und zwar:

$\begin{eqnarray*} \vec AB \end{eqnarray*}$ mit Richtungsvektor (B-A) = (3, -1)
und
$\begin{eqnarray*} \vec AC \end{eqnarray*}$ mit Richtungsvektor (C-A) = (12, 7)

2.) Gesucht wird dann eine Gerade g die auf AB senkrecht steht und durch C geht.
Gesucht wird eine Gerade h die auf AC senkrecht steht und durch B geht.

Die Gerade AB hat eine Steigung k von -1/3.
Die Gerade AC hat eine Steigung m von 7/12.
( Ich erhalte dies indem ich 'einfach' die Richtungsvektoren umdrehe - wie nennt man das Verfahren und ist das immer so?)

- Die Gerade g hat Steigung k1 = 3, denn k*k1 = -1.
- Die Gerade h hat Steigung m1 = -12/7 denn m*m1 = -1.

Somit:

g: y = 3x + t
h: y = -12/7x + t

Da C auf g liegt und B auf h erhalte ich die entsprechenden t-Werte.

3.) Die Geraden g und h werden geschnitten:

3x -4 = -12/7x + 8

Ich erhalte einen Schnittpunkt P (28/11, 40/11), dieser Punkt ist der gesuchte Höhenschnittpunkt.

13.10.2013, 18:27

Bürgi

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RE: Geraden konstruieren + Schnittpunkt..
Guten Abend,

zu Deinem Lösungsversuch einige Anmerkungen:

1. Das Ergebnis für den Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ ist falsch. Die angegebene Formel ist dagegen richtig.

2.

Zitat:

( Ich erhalte dies indem ich 'einfach' die Richtungsvektoren umdrehe - wie nennt man das Verfahren und ist das immer so?)

Dieses Verfahren ist falsch. Bei Verwendung des Skalarprodukts gilt im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und nur dort:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ ,

d.h., die beiden Vektoren stehen senkrecht zu einander.

13.10.2013, 19:32

Koordifritzl

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RE: Geraden konstruieren + Schnittpunkt..
Vielen Dank;

zu 1.)
Wieso ist $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ falsch?

Ich erhalte doch:

$\begin{eqnarray*} g: \vec X = A + r \cdot (B-A) = \begin{pmatrix}-8\\1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}15\\-5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

zu 2.)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

Also ist der zweite Vektor der Richtungsvektor, der orthogonal auf $\begin{eqnarray*} \vec {AB} \end{eqnarray*}$ steht?

Wie gelange ich dann von dieser Darstellung zur Gleichung " Steigung k = ... " ?

14.10.2013, 00:59

chris_78

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RE: Geraden konstruieren + Schnittpunkt..
zu 1)
Deine Geradegleichung ist soweit richtig. Oben hast Du aber nicht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}15\\-5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Richtungsvektor angegeben gehabt, sondern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 2)
Du nutzt ja schon wieder die falschen Werte!?!
Ansonsten hast Du schon recht, was die Orthogonalität angeht, nimm aber jetzt mal den richtigen Richtungsvektor und bestimme dann dazu den Vektor der senkrecht dazu ist.

Desweiteren.....Du willst die Aufgabe doch mittels Vektorenrechnung lösen? Dann brauchen wir uns hier keine Gedanken über eine Steigung zu machen, wir stellen ja Vektorgleichungen auf.

Wenn Du den senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden stehenden Vektor konstruiert hast, dann kannst Du diesen Vektor als Richtungsvektor einer neuen Geraden nutzen, die durch den Punkt C geht. Du hast dann eine Gerade, die durch C geht und senkrecht zur durch A und B laufenden Gerade steht (in Deinem 1. Post hast Du die mit g bezeichnet).
Wie lautet diese Geradengleichung ?

Analog kannst Du dann die Geradengleichug für h aufstellen und schließlich den Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmen durch gleichsetzen.

14.10.2013, 07:24

Koordifritzl

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Achso! Wieso darf ich den Richtungsvektor nicht kürzen?

14.10.2013, 09:07

HAL 9000

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Den Richtungsvektor darfst du kürzen, und es ist immer noch ein passender Richtungsvektor, ja. Aber es ist nicht

Zitat:

Original von Koordifritzl
Richtungsvektor (B-A) = (3, -1)

,
denn es ist nun mal (B-A) = (15, -5).

Also genau aufpassen, was du schreibst - es wird für bare Münze genommen. Augenzwinkern

14.10.2013, 22:31

chris_78

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Uups natürlich darf der Richtungsvektor in einer Geradengleichung gekürzt werden, dadurch ändert sich ja nicht die Richtung, sondern nur die Länge.
Aber wie Hal schon schrieb, (B-A) ist numal (15, -5) und nicht (3, -1).
War schon spät gestern, ich hatte da nur gesehen, dass (B-A) falsch angegeben war und da schon abgeschaltet und nicht mehr registriert, dass Du den dann noch gekürzt hattest.
Ansonsten ist meinen Ausführungen, aber erstmal nichts hinzuzufügen...

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