Vollständige Induktion n^2 > an + b

13.10.2013, 20:10	gockelhahn12	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion n^2 > an + b Hallo liebe matheboarder, Ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme: Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für beliebige Zahlen a, b aus den reelen Zahlen gilt: n^2 > an + b, wenn nur n aus den natürlichen Zahlen groß genug ist. Wie groß muss n sein? Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich den Induktinosanfang angehen muss. Wie muss ich a und b behandeln damit ich den Induktionsschritt machen kann? Meine erste Überlegung war das dich die Ungleichung nach a oder b auflöse, aber was bringt mir das dann? Ich bin schon den ganzen Tag an meinen Matheaufgaben und hab das Gefühl mein Gehrin schmilzt langsam. Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich die Aufgabe angehen muss?
13.10.2013, 20:30	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zeige, dass es für festes a,b natürliche Zahlen gibt, die die Ungleichung $\begin{eqnarray} n^2>an+b \Leftrightarrow n^2-an-b>0 \end{eqnarray}$ lösen. Damit kann man auch gleich das minmale n in Abhängigkeit von a und b bestimmen. Das ist dann der Induktionsanfang. Danach ist zu zeigen, dass alle größeren n die Ungleichung auch lösen.
13.10.2013, 22:35	gockelhahn12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt folgendes einmal aufgeschrieben: n^2 > an+b und a<n, daraus folgt: a^2+b<n^2. Ich kann jetzt ja nicht einfach die Wurzel ziehen, da wir ja eine Ungleichung haben, oder? bzw. den Fall a^2+b<0 kann man ja einfach vernachlässigen, da n ja aus den natürlichen Zahlen und somit immer größer als Null. Ich verstehe auch ehrlich gesagt nicht was ich da beweisen soll, da a,b ja konstant sind, also muss die ungleichung wenn sie für n^2>a^2+b gilt auch für n+1 gelten. Aber ehrlich gesagt, ich glaube ich sehe einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr nach 12 Stunden (bis auf diese Aufgabe komplett erfolgreichen) Mathe-Sonntag. Vielleicht kriege ich ja noch einen weiteren Tipp, aber ich werde mir morgen nach der Arbeit auch nochmal gedanken machen. Danke trotzdem für die schnelle Antwort, ist der Kopf einmal Matsch hilft halt nur noch schlafen. LG
13.10.2013, 22:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte einfach die quadratische Ungleichung lösen: $\begin{eqnarray} n^2>an+b \end{eqnarray}$ ist per quadratischer Ergänzung äquivalent zu $\begin{eqnarray} \left( n - \frac{a}{2} \right)^2 > \frac{a^2}{4}+b \end{eqnarray}$ Im Fall $\begin{eqnarray} \frac{a^2}{4}+b < 0 \end{eqnarray}$ ist nichts zu beweisen, d.h. da gilt die Ungleichung für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Andernfalls gilt die Ungleichung auf alle Fälle für alle $\begin{eqnarray} n> \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2}{4}+b} \end{eqnarray}$ , also alle $\begin{eqnarray} n \geq \max\left\{ 0 , \left\lfloor \frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2}{4}+b} \right\rfloor+1 \right\} \end{eqnarray}$ . Fragt sich nur, wozu man da noch Vollständige Induktion braucht? Antwort: Gar nicht.

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