Potenzen der imaginären Einheit

13.10.2013, 20:27

cmate

Potenzen der imaginären Einheit

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} i^{4k+1} \end{eqnarray*}$

das richtige Ergebnis soll $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sein. Mir ist klar, dass

$\begin{eqnarray*} i^1=i \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} i^5=i \end{eqnarray*}$

ist. Wie ich aber zu obigem Ergebnis komme, ohne ein definiertes k zu haben, verstehe ich noch nicht ganz. Wenn ich folgendes probiere:

$\begin{eqnarray*} i^{4k+1} = i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4k+1 = \frac{\log(i)}{\log(i)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4k+1 = 1 \end{eqnarray*}$

komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$

wenn ich nun

$\begin{eqnarray*} i^{4*0+1} \end{eqnarray*}$

einsetze, bekomme ich

$\begin{eqnarray*} i^{4*0+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i^1=i \end{eqnarray*}$

Ups, bin ich jetzt während des Schreibens der Frage auf die Lösung gekommen?

13.10.2013, 20:33

alterHund

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was ergibt $\begin{eqnarray*} i^4 \end{eqnarray*}$ ? und mittels der Potenzgesetzte, wie kann $\begin{eqnarray*} i^{4k+1} \end{eqnarray*}$ noch geschrieben werden ?

13.10.2013, 20:46

cmate

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$\begin{eqnarray*} i^4 = 1 \end{eqnarray*}$

und mit den Potenzgesetzen kann ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} (i^4)^k * i^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1^k * i \end{eqnarray*}$

13.10.2013, 20:47

alterHund

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Bravo

13.10.2013, 20:55

HAL 9000

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Ein Wort noch zu diesem Versuch:

Zitat:

Original von cmate
$\begin{eqnarray*} i^{4k+1} = i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4k+1 = \frac{\log(i)}{\log(i)} \end{eqnarray*}$

Vermutlich hast du hier an

$\begin{eqnarray*} \log(z^n) \stackrel{?}{=} n\cdot \log(z) \end{eqnarray*}$

gedacht? Das gilt für komplexe $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ i.a. nicht mehr - mit der Modifikation

$\begin{eqnarray*} \exists m\in\mathbb{Z}:\; \log(z^n) = n\cdot \log(z) + 2m\pi ~ i \end{eqnarray*}$

stimmt es allerdings. Augenzwinkern

13.10.2013, 21:00

cmate

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Dann wieder einmal ein dickes Dankeschön! smile

13.10.2013, 21:08

cmate

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Sorry hatte den letzten Post von HAL 9000 noch nicht gelesen.

Nein, da hatte ich so noch nicht drüber nachgedacht. Ich hatte einfach überlegt, mit Hilfe des Logarithmus zur Basis i zu arbeiten um ein Ergebnis für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu erhalten.
Das funktioniert so aber ebenfalls nicht?

13.10.2013, 21:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von cmate
Logarithmus zur Basis i

Ganz, ganz dünnes Eis - ich würde dir raten, dieses Eis nie wieder zu betreten: Logarithmen bitte nur mit reellen positiven Basen ungleich Eins betrachten, alles andere ist blanker Wahnsinn. smile

13.10.2013, 21:18

cmate

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Gut, werde ich mir hinter die Ohren schreiben smile

Vielen Dank!

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