Irrationalitätsbeweis

13.10.2013, 22:05

Hokodoko

Irrationalitätsbeweis

Meine Frage:
Hallo liebe Community,

ich bearbeite derzeit ein Übungsblatt und komme leider nicht weiter.

Es ist zu zeigen, dass die Zahl ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ + 1)^m stets irrational ist für ganzzahliges m, m $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0.

Meine Ideen:
Im ersten Teil der Aufgabe habe ich bewiesen, dass aus der Q-linearen Unabhängigkeit von 1 und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ folgt, dass eine Darstellung der Form a + b $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ mit rationalen Koeffizienten a und b stets eindeutig ist.

Es fällt mir nicht sehr einfach, mathematischen Text hier einzutippen, da das mein/e erster Beitrag/erste Frage ist. Ich bin von der Annahme ausgegangen, dass die Zahl rational ist und habe versucht, das auf einen Widerspruch zu führen. Leider kam nichts dabei heraus.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen, vielen Dank!

13.10.2013, 22:24

HAL 9000

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Mit binomischen Satz folgt, dass $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{2})^m = a_m+b_m\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ mit geeigneten ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a_m,b_m \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber auch $\begin{eqnarray*} (1-\sqrt{2})^m = a_m-b_m\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Offenbar ist nun aber $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{2})^m > 1 > (1-\sqrt{2})^m \end{eqnarray*}$ ...

14.10.2013, 21:55

Hokodoko

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Vielen Dank für die gute und schnelle Antwort!

Weißt du vielleicht, ob man auch die allgemeinere Aussage

" $\begin{eqnarray*} (x + 1)^m \end{eqnarray*}$ ist stets irrational für irrationales $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und rationales $\begin{eqnarray*} m, m \neq 0 \end{eqnarray*}$ "

zeigen kann?

Im Falle $\begin{eqnarray*} x = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ stimmt diese Aussage schon mal smile

Schöne Grüße!

15.10.2013, 00:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hokodoko
Weißt du vielleicht, ob man auch die allgemeinere Aussage

" $\begin{eqnarray*} (x + 1)^m \end{eqnarray*}$ ist stets irrational für irrationales $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und rationales $\begin{eqnarray*} m, m \neq 0 \end{eqnarray*}$ "

zeigen kann?

Kann man nicht, da sie falsch ist - Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ .

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