Rotationsfläche

14.10.2013, 15:20	mako0036	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsfläche Hallo an alle, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Die Kurve $\begin{eqnarray} z= \sqrt{16-x^{2} } \end{eqnarray}$ werde um die z-Achse rotiert. a1) Wie lautet die Funktionsgleichung im dreidimensionalen Raum? a2) Fur welche Wertepaare (x,y) ist sie definiert? b) Bestimmen Sie die Schnittkurven der Fläche mit den drei Koordinatenebenen (Schnittkurvendiagramme). Ich bin für jede Hilfe dankbar. Ich habe keine Ahnung wie ich da rangehen muss. Danke im Voraus
14.10.2013, 20:20	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationsfläche Hi, ich muss zwar gleich weg, aber ich versuch dir trotzdem nochmal auf die schnelle den einen oder andeen tipp mitzugeben zu a1) Die FUnktionsgleichung kannst du dir entweder anschaulich überlegen, wenn du dir de funktion mal aufzeichnest und guckst was beim drehen passiert, oder vielleicht versuchst du in der x-y-Ebene mal Polarkoordinaten. Das bietet sich an, da die Fläche durch Rtation um die z-Achse entsteht, eine Parametrisierung erhälst du dann durch $\begin{eqnarray} f(\varphi ,z)=(r(z)\cos(\varphi),r(z)\sin(\varphi),z) \end{eqnarray}$ den Radius $\begin{eqnarray} r(z) \end{eqnarray}$ zur jeweilige Höhe auf der z-Achse kannst du aus deiner Gleichung für $\begin{eqnarray} z=\sqrt{16-x^2} \end{eqnarray}$ berechnen (indem nach x umstellst). Für die gesuchte Funktionsgleichung überlege dir, das du eine Darstellung suchst $\begin{eqnarray} z=z(x,y) \end{eqnarray}$ und bentze mal $\begin{eqnarray} \cos^2\varphi +\sin ^2\varphi =1 \end{eqnarray}$ um in der Parametrisierung zu gucken in welchem Zusammenhang die Koordinaten für x,y,z stehen könnten zu a2) Wenn du die Funktionsgleichung hast musst du dir nur Überlegen wo die Wurzelfunktion definiert ist, dann fällt dir sicherlich auf ab wann es schief geht. zu b) Beispiel für x-z-Ebene: Es muss gelten $\begin{eqnarray} y(\varphi ,z)=r(z)\sin(\varphi)=0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} r(z)\neq 0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \varphi =0\Rightarrow f_{xz}(z)=(r(z)\cos(0),0,z)=(r(z),0,z) \end{eqnarray}$ . Das ist die Schnittkurve mit der x-z-Ebene (noch nicht ganz fertig ausgerechnet, da ja r(z) noch fehlt) und so funktionieren die anderen Schnitte auch... hoffe es hilft ein bischen weiter Gruß Nobundo
14.10.2013, 23:59	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationsfläche zu b) Mir fällt gerade noch auf, das natürlich zu $\begin{eqnarray} \varphi =\pi \end{eqnarray}$ auch noch die andere Seite der x-z-Schnittkurve dazugehört. Gruß Nobundo

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