Kettenbruch

14.10.2013, 19:39

Veysel1990

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Kettenbruch

Meine Frage:
Wir definieren rekursiv zwei Folgen, nämlich b1=1, b2=3,
$\begin{eqnarray*} b_{n+2}=2b_{n+1}+b_{n} \end{eqnarray*}$
und a0=1; $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1/(2+a_{n}) \end{eqnarray*}$

(i)Nehmen wir an, die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, was ist dann ihr Grenzwert?
(ii)Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n>=2 gilt:
$\begin{eqnarray*} b^2_{n}-b_{n-1}b_{n+1}=2(-1)^{n} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=(b_{n}-1)/b_{n} \end{eqnarray*}$

(iii)Zeigen Sie mit (ii):
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}-a_{n} =(-1)^{n+1}2/(b_{n}b_{n+1}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also beim i) habe ich es so versucht:
Falls a= $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n}>0 --> a=1/(2+a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => 2a+a^{2}-1=0 \end{eqnarray*}$

a=0.4142 Stimmt das so?

bei ii) fehlt mir völlig der Ansatz und deshalb kann ich auch iii) nicht lösen. Könnt ihr mir da weiterhelfen?

14.10.2013, 22:11

magic_hero

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Zu (i): Ja, aber lass das doch genau stehen, mit dem Wurzelausdruck.

Zu (ii): Der Hinweis steht ja schon da: vollständige Induktion. Beim Induktionsschritt musst du dann zwei Mal die Rekursionsvorschrift geschickt einsetzen. Schreib dir die auch noch mal anders hin, indem du den Index jeweils um 1 verringerst. So funktioniert jedenfalls der erste Teil, und der zweite müsste ähnlich gehen.

14.10.2013, 22:59

Veysel1990

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ok danke ich werde es so versuchen und werde schauen, wie weit ich komme Freude

Freude

14.10.2013, 23:12

Helferlein

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Kleiner Einwand: Auf Hochschulniveau wird die Antwort "a=0.4142 ist Grenzwert" sicher nicht als richtig gewertet, da es sich nur um eine Näherung handelt. Du solltest besser den Wurzelterm als Lösung angeben.

14.10.2013, 23:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Veysel1990
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=(b_{n}-1)/b_{n} \end{eqnarray*}$

Da hast du wohl was falsch abgeschrieben: Hier sollte $\begin{eqnarray*} a_{n-1} = \frac{b_{n-1}}{b_n} \end{eqnarray*}$ stehen, d.h. die "-1" gehört in den Index!

15.10.2013, 21:52

Veysel1990

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Ich hab jetzt mal den Index um eins verringert aber irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter verwirrt

verwirrt

n-->n-1

$\begin{eqnarray*} b^2_{n-1}-b_{n-2}b_{n}=2(-1)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Ich weiss ja, dass $\begin{eqnarray*} b_{n}=b_{n+2}-2b_{n+1} \end{eqnarray*}$

Doch wenn ich es einsetze komme ich nicht weiter, kann mir da jemand weiterhelfen?

Und ja, -1 gehört zum Index. Freude

Freude

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16.10.2013, 09:19

magic_hero

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Das war nicht mein Tipp. Ich sagte, du sollst bei der Rekursionsvorschrift (!) den Index um 1 verringern. Also hast du einmal $\begin{eqnarray*} b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b_{n+1}=2b_n+b_{n-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , was ja äquivalent ist zur ursprünglichen Rekursionsvorschrift.

Jetzt setzt du deine Induktion ganz normal an (von n nach n+1; Anmerkung an der Stelle: n nach n-1 zu zeigen, ergibt keinerlei Sinn, weil wir dann ja rückwärts gehen und eben nicht für alle natürlichen n zeigen!).

Zunächst setzt du die ursprüngliche Rekursionsvorschrift ein (für $\begin{eqnarray*} b_{n+2} \end{eqnarray*}$ ) und multiplizierst dann aus. Dann hast du u.a. $\begin{eqnarray*} 2b_n \end{eqnarray*}$ da stehen, was du mithilfe unserer veränderten Rekursionsvorschrift aber wieder ersetzen kannst durch einen anderen Ausdruck. Dann einfach noch ein bisschen weiterrechnen und irgendwann auch mal die Induktionsvoraussetzung verwenden.

Generell gilt für solch eine Aufgabe: Ausprobieren, was möglich ist! Mit ein wenig Erfahrung sieht man dann schneller, was sinnvoll ist, aber meistens werden solche Aufgaben so gestellt, dass man alle Voraussetzungen verwenden muss. Vor allem solche Rekursionsvorschriften!

16.10.2013, 14:40

HAL 9000

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Vielleicht mal noch ausführlicher (entschuldige magic_hero, aber ich habe den Eindruck, dass es Veysel1990 noch genauer braucht):

Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to (n+1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} b_{n+1}^2-b_nb_{n+2} = 2(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, wobei sowohl die Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} b_n^2-b_{n-1}b_{n+1} = 2(-1)^n \end{eqnarray*}$ als auch die Iterationsvorschrift der Folge Verwendung findet. Man geht von der linken Seite der Induktionsbehauptung aus, formt dann um und vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} b_{n+1}{\color{red}b_{n+1}}-b_n{\color{blue}b_{n+2}} = b_{n+1}{\color{red}(2b_n+b_{n-1})}-b_n{\color{blue}(2b_{n+1}+b_n)} = \ldots \end{eqnarray*}$

16.10.2013, 15:30

Veysel1990

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Danke, ich war gerade dran, aber mit deiner ausführlichen Beschreibung kann ich auch gerade mein Ergebnis ein wenig verlgleichen Freude

Freude

Ich bin genauso weit gekommen, wie HAL 9000 und habe ein wenig weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} b_{n+1}(b_{n-1}+(b_{n+1}-b_{n-1})-b_{n}(b_{n}+(b_{n+2}-b_{n})=2(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Danach:
$\begin{eqnarray*} b_{n+1}(b_{n+1})-b_{n}(b_{n+2})=2(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Und das ist ja derselbe Ausdruck wie vorhin. Habe ich es jetzt demnach schon bewiesen?

16.10.2013, 15:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Veysel1990
$\begin{eqnarray*} b_{n+1}(b_{n-1}+(b_{n+1}-b_{n-1})-b_{n}(b_{n}+(b_{n+2}-b_{n})=2(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Mein Algebra-Syntaxanalysator im Gehirn meldet: Error - Anzahl geöffneter Klammern ungleich Anzahl geschlossener Klammern Erstaunt1

Erstaunt1

Bitte überprüf das mal. Und vielleicht meinst du ja, das wäre eine ähnliche Rechnung wie bei mir oben - ich bin anderer Meinung, denn ich habe keine Ahnung, was du damit jetzt bezweckst.

16.10.2013, 15:52

Veysel1990

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$\begin{eqnarray*} b_{n+1}(b_{n-1}+(b_{n+1}-b_{n-1}))-b_{n}(b_{n}+(b_{n+2}-b_{n}))=2(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$
So meinte ich das natürlich=)

Ich habe $\begin{eqnarray*} 2b_{n+1}=b_{n+2}-b_{n} \end{eqnarray*}$ ersetzt und $\begin{eqnarray*} 2b_{n}=b_{n+1}-b_{n-1} \end{eqnarray*}$ ausgetauscht.

Das hat mir doch magic_hero empfohlen gehabt smile

smile

16.10.2013, 16:06

magic_hero

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Die Empfehlungen von HAL 9000 und mir unterscheiden sich leicht - ich gehe davon aus, dass die von HAL 9000 genauso zielführend ist, aber ich habe, wie oben beschrieben, zunächst nur $\begin{eqnarray*} b_{n+2} \end{eqnarray*}$ ausgetauscht, dann ausmultipliziert und daurch einen Term erhalten, in dem der Faktor $\begin{eqnarray*} 2b_n \end{eqnarray*}$ vorkommt. Diesen habe ich dann wiederum nach der Rekursionsvorschrift ersetzt. So geht die Sache relativ schnell, ohne viel auszumultiplizieren.

16.10.2013, 16:08

Veysel1990

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Also stimmt jetzt das, was ich gemacht habe demnach? Ich habe einfach mit seiner Methode weitergerechnet und deinen Rat dann gezielt eingesetzt.

16.10.2013, 16:14

magic_hero

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Zitat:

Original von Veysel1990
Also stimmt jetzt das, was ich gemacht habe demnach? Ich habe einfach mit seiner Methode weitergerechnet und deinen Rat dann gezielt eingesetzt.

Um jetzt mal ganz konkret zu werden:

$\begin{eqnarray*} b_{n+1}^2-b_nb_{n+2}=b_{n+1}^2-b_n(2b_{n+1}+b_n)=b_{n+1}^2-2b_nb_{n+1}-b_n^2=b_{n+1}^2-b_{n+1}^2+b_{n-1}b_{n+1}-b_n^2 \end{eqnarray*}$

Wobei ich im letzten Schritt verwendet habe, dass $\begin{eqnarray*} 2b_n=b_{n+1}-b_{n-1} \end{eqnarray*}$ gilt (unsere um 1 verringerte Rekursionsvorschrift). Ab dem Punkt ist es dann nicht mehr schwierig.

16.10.2013, 16:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von magic_hero
Wobei ich im letzten Schritt verwendet habe, dass $\begin{eqnarray*} 2b_n=b_{n+1}-b_{n-1} \end{eqnarray*}$ gilt (unsere um 1 verringerte Rekursionsvorschrift).

Soso, und dieses getrennte Verwenden (am Anfang $\begin{eqnarray*} b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \end{eqnarray*}$ durch Ausmultiplizieren)
und hier dann $\begin{eqnarray*} 2b_n=b_{n+1}-b_{n-1} \end{eqnarray*}$ ebenfalls dann per Ausmultiplizieren ist dann laut Bekundung

Zitat:

Original von magic_hero
So geht die Sache relativ schnell, ohne viel auszumultiplizieren.

weniger aufwändig, als wenn man das wie hier sofort in einem Schritt erledigt? verwirrt

verwirrt

Es ist ganz klar ein Nullsummenspiel im Aufwand - man sollte sich also hüten, andere Wege schlechtzureden (und sei es nur unterschwellig), wenn kein Anlass dazu vorhanden ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.10.2013, 16:53

magic_hero

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist ganz klar ein Nullsummenspiel im Aufwand - man sollte sich also hüten, andere Wege schlechtzureden (und sei es nur unterschwellig), wenn kein Anlass dazu vorhanden ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sorry, ich gebe dir natürlich völlig Recht in der Hinsicht. War eigentlich auch so zu erwarten, wenn ich darüber nur eine Sekunde länger nachgedacht hätte. Lesen1

Lesen1

Tut mir Leid.

Zu Veysel1990 sei dann gesagt, dass du dir gerne aussuchen darfst, welche Variante du bevorzugst; in beiden Varianten ist der letzte Schritt dann eh derselbe.

16.10.2013, 18:01

Veysel1990

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Ich habe den Weg von HALL 9000 gewählt und bereits doch die Aussage bewiesen oder fehlt mir hier noch irgendein Schritt, den ich übersehen habe?? LOL Hammer

LOL Hammer

16.10.2013, 18:06

magic_hero

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Wie HAL 9000 schon selbst sagte: Nein. In seinem Beitrag hatte er doch bereits die Rekursionsvorschrift eingesetzt. An der Stelle musst du nur noch weiterrechnen, also ausmultiplizieren und vereinfachen. Danach auch mal an die Induktionsvoraussetzung denken, die du noch verwenden musst.

16.10.2013, 20:02

Veysel1990

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Also ich habe mal mit der Variante von HALL 9000 weitergerechnet:
$\begin{eqnarray*} 2b_{n}b_{n+1}+b^{2}_{n+1}-b^{2}_{n}-2b_{n}b_{n+1}=2(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt für $\begin{eqnarray*} b^{2}_{n+1} \end{eqnarray*}$ das einsetze: $\begin{eqnarray*} 2(-1)^{n+1}+b_{n}b_{n+2} \end{eqnarray*}$
Bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} 2(-1)^{n+1}+b_{n}b_{n+2}=2(-1)^{n+1}+b^{2} _{n} \end{eqnarray*}$

Da bleibt ja noch:

$\begin{eqnarray*} b_{n}b_{n+2}=b^{2} _{n} \end{eqnarray*}$

irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich da was falsch gemacht habe oder verstanden habe?? böse

böse

16.10.2013, 20:11

magic_hero

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Der Fehler ist dir schon beim ersten Ausmultiplizieren passiert:

Zitat:

Original von Veysel1990
$\begin{eqnarray*} 2b_{n}b_{n+1}+b_{n+1}{\color{red}b_{n-1}}-b^{2}_{n}-2b_{n}b_{n+1} \end{eqnarray*}$

16.10.2013, 22:03

Veysel1990

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stimmt

LOL Hammer

Nun, dann steht am Schluss:

$\begin{eqnarray*} b_{n}b_{n+2}=b_{n+1}b_{n-1} \end{eqnarray*}$

was ich ja umformen kann in:

$\begin{eqnarray*} b^{2}_{n+1}-2(-1)^{n+1}=b_{n+1}b_{n-1} \end{eqnarray*}$

Hier komme ich trotz Umformung nicht mehr weiter... unglücklich

unglücklich

16.10.2013, 22:12

HAL 9000

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Herrje, was für eine schwere Geburt - es ist fast nix mehr zu tun, und du machst das trotzdem noch falsch. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} b_{n+1}{\color{red}b_{n+1}}-b_n{\color{blue}b_{n+2}} = b_{n+1}{\color{red}(2b_n+b_{n-1})}-b_n{\color{blue}(2b_{n+1}+b_n)} = b_{n+1}b_{n-1}-b_n^2 = -(b_n^2-b_{n-1}b_{n+1}) \end{eqnarray*}$

Den Klammerausdruck rechts kennen wir von der Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} b^2_{n}-b_{n-1}b_{n+1}=2(-1)^{n} \end{eqnarray*}$ , die Gleichungskette geht also weiter

$\begin{eqnarray*} \ldots = -2(-1)^n = 2(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ,

und schon ist die Induktionsbehauptung (d.h. die für n+1) bewiesen.

16.10.2013, 22:43

Veysel1990

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Ich hab im Grunde genommen nichts Falsches gemacht, ich habe deinen letzten Schritt mit:

$\begin{eqnarray*} -2(-1)^{n}=2(-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

nicht gesehen...

Aber trotzdem vieeeelen Dank für eure Zeit und Geduld Respekt

Respekt

!!!

16.10.2013, 23:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Veysel1990
Ich hab im Grunde genommen nichts Falsches gemacht,

Du bist also der Meinung, dass diese Gleichungen hier von dir

Zitat:

Original von Veysel1990
$\begin{eqnarray*} b_{n}b_{n+2}=b_{n+1}b_{n-1} \end{eqnarray*}$

was ich ja umformen kann in:

$\begin{eqnarray*} b^{2}_{n+1}-2(-1)^{n+1}=b_{n+1}b_{n-1} \end{eqnarray*}$

richtig sind? Gehöriges Selbstbewusstsein, aber mathematisch totale Blindheit. unglücklich

unglücklich

16.10.2013, 23:50

Veysel1990

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eher Verzweiflung in diesem Fall, da ich nicht weiterkam Engel

Engel

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