Stetigkeit einer Funktion zwischen metrischen Räumen beweisen

15.10.2013, 11:43

Emil_M

Stetigkeit einer Funktion zwischen metrischen Räumen beweisen

Meine Frage:
Hallo liebe Leute,
ich würde mich sehr über Hilfe bei folgendem Beispiel freuen:

Zu zeigen ist, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow\;\widetilde{X} \end{eqnarray*}$ zwischen metrischen Räumen Stetig ist, wenn, und nur wenn das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal{\widetilde{O}})=\{x\in\;X:f(x)\in\; \mathcal{\widetilde{O}}\} \end{eqnarray*}$ jedes offenen Sets $\begin{eqnarray*} \mathcal{\widetilde{O}} \subseteq \widetilde{X} \end{eqnarray*}$ eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Dazu muss ich zeigen, dass diese Definition der Stetigkeit äquivalent zur $\begin{eqnarray*} \epsilon \text{ / } \delta \end{eqnarray*}$ Definition der Stetigkeit ist, oder?

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon X \to \widetilde{X} \end{eqnarray*}$ ist stetig in allen $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass für alle $\begin{eqnarray*} y \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |y - x| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f(y) - f(x)| < \varepsilon . \end{eqnarray*}$

Wie könnte ich diesen Beweis führen?

Danke im Voraus!

15.10.2013, 12:57

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit einer Funktion zwischen metrischen Räumen beweisen
Zu zeigen ist, wenn man Stetigkeit voraussetzt: Jedes $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(\tilde{\mathcal O}) \end{eqnarray*}$ hat eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung, die ganz in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\tilde{\mathcal O}) \end{eqnarray*}$ liegt (das dürft ihr so machen, oder?).
Und gegeben ist, dass jedes $\begin{eqnarray*} \tilde x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal O} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung hat, die ganz in $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal O} \end{eqnarray*}$ liegt.

Hilft dir diese Umformulierung?

15.10.2013, 13:00

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Crosspost

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...hp?topic=186828

15.10.2013, 17:36

Emil_M

Auf diesen Beitrag antworten »

Che Netzer: Ja, danke, deine umformulierung hat mir sehr geholfen!

Eine kurze Frage noch: die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung $\begin{eqnarray*} U_\delta(x) \end{eqnarray*}$ ist aber nicht das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(U_\varepsilon(f(x)) \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ oder?

Guppi12: Wieso ist es nicht in Ordnung die selbe Frage in zwei verschiedenen Foren zu stellen?

15.10.2013, 18:49

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wieso ist es nicht in Ordnung die selbe Frage in zwei verschiedenen Foren zu stellen?

Ich habe garnicht gesagt, dass ich das nicht in Ordnung finde. Das Boardprinzip, das du eigentlich gelesen haben solltest, sagt das aber.

Der Grund, warum ich das gepostet habe, ist folgender:

Was (auch meiner Meinung nach) überhaupt nicht geht, ist, Crosspostings zu schreiben, ohne das in beiden Foren den Helfern mitzuteilen. Dann passiert es nämlich leicht, dass sich verschiedene Helfer Zeit nehmen, um dir zu helfen. Eigentlich hast du aber bereits längst eine Antwort erhalten und die Zeit des einen ist verschwendet.
Das passiert insbesondere dann, wenn sich ein Helfer findet, der vorher erstmal selbst überlegen muss, wie man etwas zeigt, bevor er dir helfen kann (was hier glücklicherweise mit Che Netzer immerhin nicht passiert ist)

Aber das stört dich anscheinend nicht, oder? Ist ja schließlich nicht deine Zeit.

Deswegen habe ich dein Crossposting offengelegt. Ganz einfach damit nun jeder, der helfen möchte, selbst sehen kann, was bereits anderswo gepostet wurde.

15.10.2013, 19:50

Emil_M

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wärs wenn du dich erst einmal beruhigst und von persönlichen Angriffen absiehst?
Ich habe eine erst gemeinte Frage gestellt und wollte tatsächlich wissen, wieso du findest, dass crossposts nicht ok sind.
Es ist überhaupt nicht angebracht auf diese sachliche Frage mit persönlichen Beleidigungen zu reagieren.

Die Forenregeln besagen außerdem folgendes:

3. Hast Du Deine Frage (zeitnah) auch in anderen Foren gestellt (Crossposting)? Dann behalten wir uns das Recht vor, den Thread zu schließen.

4. Stelle Deine Frage nur in einem Unterforum. Doppel- und Mulitpostings werden von uns geschlossen und bei Reinigungsarbeiten gelöscht werden.

Das bedeutet, dass crossposten nicht a priori gegen die Regeln verstößt, Admins den Thread aber schließen können, wenn sie ihn für redundant halten.
Bevor du also mit Forenregeln um dich wirfst, überzeuge dich also bitte von ihrer Richtigkeit.

Dein moralisches Argument sehe ich zwar ein, ich möchte dich jedoch darauf hinweisen, dass alle Poster hier freiwillig und aus Spaß an der Sache ihre Zeit bereitstellen, um anderen zu helfen. Insofern finde ich es etwas übertrieben crosspostings als ach so verwerflich darzustellen.

Neue Frage »

Antworten »

Stetigkeit einer Funktion zwischen metrischen Räumen beweisen

Verwandte Themen