Betrag des Gradienten

15.10.2013, 20:21

nusek

Betrag des Gradienten

Meine Frage:
Hallo,
wir haben in unserem Skript folgende Formulierung
$\begin{eqnarray*} ||\nabla u|| = \int |\nabla u|^2 dx \end{eqnarray*}$ .
Das ganze definiert eine Norm.
Wie ist denn hier der Betrag zu verstehen und das Hoch zwei?
Also was ist der Betrag von einem Gradienten?
Vielen Dank schon mal

Meine Ideen:
Also Komponentenweise kann es ja gar nicht gemeint sein, da ich ja etwas skalares für meine Norm bekommen will.

15.10.2013, 22:04

Abakus

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RE: Betrag des Gradienten

Zitat:

Original von nusek
Also was ist der Betrag von einem Gradienten?

Die (euklidische?) Norm des Vektors, der Gradient ist hier einfach ein Vektor?

Abakus smile

17.10.2013, 08:50

nusek

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Hi,
Dank schon mal für die schnelle Antwort.
Also ist hier gar nicht der Betrag selbst gemeint sonder eine Norm?
Warum schreibt man es dann nicht mit zwei Strichen?

17.10.2013, 09:13

Ehos

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Lass dich nicht durch den Gradienten verwirren. Wesentlich ist, dass du eine Vektorfunktion $\begin{eqnarray*} \vec a(\vec x) \end{eqnarray*}$ gegeben hast (Das ist hier speziell ein Gradient $\begin{eqnarray*} \vec a=\nabla u \end{eqnarray*}$ ). Der Betrag eines n-dimensionalen Vektors wird wie üblich als $\begin{eqnarray*} |\vec a(\vec x)| \end{eqnarray*}$ geschrieben, wobei der Vektor an einem beliebigem aber festen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Dein Integral definiert aber nicht den Betrag eines n-dimensionalen Vektors, sondern den Betrag einer Vektorfunktion $\begin{eqnarray*} \vec a(\vec x) \end{eqnarray*}$ , welche über einem Gebiet definiert - nicht an einem Punkt. Es handelt sich also nicht um den euklidischen Vektorraum, sondern um einen Funktionenraum, dessen Dimension sogar unendlich sein kann. Das sind also zwei völlig verschiedene Räume. Zur Unterscheidung der Norm dieser Räume benutzt man im letzteren Fall die Schreibweise ||...||.

18.10.2013, 15:55

nusek

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Hi,
das verstehe ich nicht ganz.
Der Betrag steht doch im Integral und ich integriere über ein Gebiet, welches normalerweise endlich Dimensional ist.
Das Integral wertet jetzt das Quadrat des Betrags des Gradienten an allen Punkten des Gebietes aus und "summiert" diese aus.
Also muss ich doch den Betrag meines Gradienten kennen.
Aber was das genau ist, weiß ich nicht genau.

Wie würde denn das Integral z.b. für $\begin{eqnarray*} \nabla u= (x^2,y^2,z^2)^T \end{eqnarray*}$ aussehen.
Danke schonmal

21.10.2013, 10:08

Ehos

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Ich erklär's mal am Beispiel:
Betrachte einen Stein im Gravitationsfeld der Erde. Das Volumen dieses Steines sei unser betrachtetes Gebiet. Die skalare Funktion $\begin{eqnarray*} u(\vec x) \end{eqnarray*}$ interpretieren wir als die potenzielle Energie des Punktes $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ innerhalb des Steines. Dann wissen wir aus der Physik, dass der Gradient $\begin{eqnarray*} \nabla u(\vec x) \end{eqnarray*}$ die Erdanziehungskraft auf den speziellen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ ist. Das Integral $\begin{eqnarray*} \int |\nabla u|^2\,dV| \end{eqnarray*}$ wäre demnach ein Maß für das Betragsquadrat der Erdanziehungskraft auf den Stein als Ganzes (nicht nur auf einen Punkt). Mit diesem Integral kann man also die Anziehungskraft auf verschiedene Steine als Ganzes vergleichen, welche zwar dasselbe Gebiet ausfüllen aber unterschiedliche Dichteverteilungen besitzen. Genau dieser Vergleich ist der Sinn des Integrals!!! In diesem Sinne ist das Integral ein abstrakten "Abstand" zwischen den Steinen (kein örtlicher Abstand, sondern eine Abstand bezüglich des Gewichtes). Großer Abstand bedeutet hier also große Anziehungskraft. Dieser abstrakte Abstand wird mit dem Symbol ||...|| bezeichnet, während der übliche euklidische Abstand das Symbol |...| hat.
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Zu deiner Frage:
Für $\begin{eqnarray*} \nabla u=(x²|y²|z²) \end{eqnarray*}$ hätte man das Interal $\begin{eqnarray*} \int |\nabla u|^2\,dV|=\int x^4+y^4+z^4\,\,dV \end{eqnarray*}$

21.10.2013, 19:48

nusek

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Hi,
vielen Dank!
Auch fuer das anschauliche Beispiel.
Ich denke jetzt habe ich es kapiert.

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