paarweise disjunkte Mengen

16.10.2013, 06:54

un1x

paarweise disjunkte Mengen

Hi

Ich stehe an folgender Aufgabe fest

"Geben Sie paarweise disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} \left\{ A _{i}|i \in \mathbb {N} \right\} \end{eqnarray*}$ an mit:"

$\begin{eqnarray*} \bigcup \limits _{i=gerade} A _{i}=\left\{n \in \mathbb {N} | n = ungerade \right \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup \limits _{i=ungerade} A _{i}=\left\{n \in \mathbb {N} | n = gerade \right \} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig verstanden habe, gilt paarweise disjunkt z.b für X und Y wenn $\begin{eqnarray*} X \cap Y = \{\} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich habe mir mal folgenden Gedankenschritt gemacht. Aber ich weiss nicht wie weiter..

$\begin{eqnarray*} A _{0}=\{1,3,5,...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A _{1}=\{0,2,4,...\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A _{0} \cap A _{1} = \{\} \end{eqnarray*}$

16.10.2013, 10:01

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RE: paarweise disjunkte Mengen
du suchst eine Menge $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ , die zu $\begin{eqnarray*} A_0, A_1 \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \{\}=A_2\cap A_0=A_2\cap A_1 \end{eqnarray*}$ .
Nichts hindert dich daran, von $\begin{eqnarray*} A_2\subset\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ auszugehen.
Was folgt dann aus $\begin{eqnarray*} A_2=A_2\cap\mathbb{N}=A_2\cap(A_0\cup A_1) \end{eqnarray*}$ ?
Wie kannst du also alle Mengen $\begin{eqnarray*} A_i, i\geq 2 \end{eqnarray*}$ wählen?

16.10.2013, 10:20

un1x

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RE: paarweise disjunkte Mengen

Zitat:

Original von URL
du suchst eine Menge $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ , die zu $\begin{eqnarray*} A_0, A_1 \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \{\}=A_2\cap A_0=A_2\cap A_1 \end{eqnarray*}$ .
Nichts hindert dich daran, von $\begin{eqnarray*} A_2\subset\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ auszugehen.
Was folgt dann aus $\begin{eqnarray*} A_2=A_2\cap\mathbb{N}=A_2\cap(A_0\cup A_1) \end{eqnarray*}$ ?
Wie kannst du also alle Mengen $\begin{eqnarray*} A_i, i\geq 2 \end{eqnarray*}$ wählen?

Sorry ich kann dir nicht folgen.

$\begin{eqnarray*} \{\}=A_2\cap A_0=A_2\cap A_1 \end{eqnarray*}$ . Das wuerde soviel heissen wie $\begin{eqnarray*} A_2 = \{x | x \in \mathbb{N} \wedge x \notin A_0 \wedge x \notin A_1 \} \end{eqnarray*}$

16.10.2013, 10:36

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RE: paarweise disjunkte Mengen
Du sollst paarweise disjunkte Mengen A_i finden. A_0 und A_1 hast du schon.
Ich habe nur aufgeschrieben, was eine Menge A_2 notwendigerweise erfüllen muss, wenn A_0, A_1, A_2 paarweise disjunkt sein sollen.

16.10.2013, 10:53

un1x

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Richtig. Aber wenn $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ alle ungeraden und $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ alle geraden Zahlen sind, dann bleibt ja fuer $\begin{eqnarray*} A_i i \ge 2 \end{eqnarray*}$ nichts mehr uebrig?

16.10.2013, 11:09

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Genau

Die übrigen A_i sind einfach leer. Die Aufgabe verlangt ja nicht, dass die A_i nichtleer sein müssen.

16.10.2013, 11:42

un1x

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Ach das wars schon? Und wie definiere ich die Loesung korrekt? Etwa so?

$\begin{eqnarray*} A _{0}=\{1,3,5,...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A _{1}=\{0,2,4,...\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A _{i}=\{\}, i \ge 2 \end{eqnarray*}$

16.10.2013, 11:49

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yepp

16.10.2013, 13:13

un1x

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Danke!

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