Matrix bestimmen, deren Kern eine Menge aus Koordinatenvektoren ist

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MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix bestimmen, deren Kern eine Menge aus Koordinatenvektoren ist
Meine Frage:
Moin,

ich höre dieses Semester Geometrie und da braucht man scheinbar all das schöne Wissen, welches in in der Linearen Algebra gelernt aber in den letzten 5 Semestern wieder vergessen habe.

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei V der R-Vektorraum aller Polynome vom Grad <= 3
Sei U der R-Unterraum von V, welcher von den Polynomen

und

erzeugt wird.

Sei eine Basis von V.

Sei die Menge aller Koordinatorenvektoren von Elementen aus U bzgl. .
Bestimmen Sie eine 4x4 - Matrix, deren Kern ist.

Meine Ideen:
Ich habe einige Probleme, die Menge zu greifen. Ich brauche ja Koordinatenvektoren für alle Elemente, die in dem Unterraum liegen. Ich habe schon einmal die Koordinatenvektoren für die beiden erzeugenden Polynome und für die Summe der beiden Polynome hingeschrieben.
Ich denke mir, dass die Elemente von U ja aus Linearkombinationen von Vielfachen der beiden erzeugenden Polynome entstehen. Also werden die Koordinatenvektoren irgendwie auch Vielfache von den Koordinatenvektoren der erzeugenden Polynome sein aber ich bekomme keine schöne Regelmäßigkeit, anhand derer ich die Matrix bestimmen kann. Irgendwie komme ich nicht weiter und bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß
Martin
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RE: Matrix bestimmen, deren Kern eine Menge aus Koordinatenvektoren ist
Wie du schon geschrieben hast, wird von den Vektoren und aufgespannt.
Weil W_1 der Kern der Matrix sein soll, würde ich zwei linear unabhängige Vektoren bestimmen, für die ist.
Dann nimmst du a und b als die beiden ersten Zeilen deiner Matrix, die übrigen Elemente setzt du gleich 0.
Geeignete a und b kann man durch scharfes Hinschauen bestimmen oder man löst das homogene lineare Gls
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

bevor ich versuche deins im Detail zu verstehen kurz meine Lösung (hab einfach weiter gearbeitet während ich auf Antworten gewartet habe). Ich habe auch die Vektoren wie du nur in anderer Reihenfolge. Meine Koordinatenvektoren sind:



Jetzt habe ich mir gedacht, dass alle anderen Koordinatenvektoren aus Linearkombinationen dieser beiden Vektoren entstehen und ein allgemeiner Koordinatenvektor dann von folgender Form sein muss:



Jetzt habe ich mir ganz allgemein eine Matrix genommen und folgende Gleichung aufgestellt:


Wenn man sich dann mal die Multiplikation anschaut, erhält man für den obersten Eintrag im Ergebnisvektor:


Wenn man da ein wenig umschreibt kommt man auf:

Wenn man das gleich 0 setzt kann man eine Lösung finden mit:


Wenn ich das jetzt als Zeile meiner Matrix nehme bilde ich die Vektoren auch auf 0 ab. Kommt das so auch hin als Ergebnis oder hab ich irgend etwas nicht bedacht? Matrix hat dann die Form:



Gruß
Martin
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Die Idee funktioniert, aber so stimmt es noch nicht ganz.
Welchen Rang hat deine Matrix? Welche Dimension hat also ihr Kern und welche Dimension hat W_1?
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, wie war das noch mal mit der Dimension des Kerns? Ich muss mich noch mal einlesen. Rang der Matrix dürfte 1 sein und Dimension von ist 2 wenn ich nicht irre. Diese ganze Matrixrechnerei mit Kern und Bild und Dimensionen ist einfach schon lange her Big Laugh .

Ich les mich noch mal ein, weiß aber noch nicht so genau was ich falsch gemacht habe. Ich tippe mal, dass die Dimension des Kerns eben nicht 2 ist. Ich weiß aber nicht, warum nicht. Meine Koordinatenvektoren werden doch alle auf 0 abgebildet, liegen also im Kern. Was muss man noch beachten?
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W_1 liegt auch im Kern, der aber die Dimension 4-1=3 hat. W_1 ist also ein echter Unterraum des Kerns deiner Matrix.
Du kannst das leicht beheben, wenn du dir eine weitere Lösung a_1,a_2,a_3,a_4 beschafftst, die von der schon gefundenen l.u. ist. Die beiden Lösungen als Zeilen der Matrix ... hey hatte ich nicht sowas in der Art vorgeschlagen Big Laugh
 
 
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, also muss ich sozusagen noch dafür sorgen, dass der Kern nicht größer ist als ich will. Deine Methode macht jetzt im Nachhinein betrachtet dann auch Sinn. Da mir die Problematik mit dem zu großen Kern am Anfang nicht bewusst war hab ich meine Lösung irgendwie als schlüssiger empfunden (weil selbst erarbeitet).

Ich werde dann den Kern mal ein wenig verkleinern und dann sollte das ja passen.
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