Generelle Frage zum Beweis per vollständiger Induktion

16.10.2013, 13:18

jimmyt

Generelle Frage zum Beweis per vollständiger Induktion

Meine Frage:
Meine generelle Frage zur vollständigen Induktion möchte ich am folgenden Beispiel zeigen:

$\begin{eqnarray*} \text{I.V.: } \quad n! \geq 2^n ; \quad n \geq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{I.A.: } \quad n=4: \quad 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \geq 2^4 = 2^2 \cdot 2^2 = 4 \cdot 4 = 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{I.S.: } \quad n \Rightarrow n+1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot n! \stackrel{I.V.}{\geq} (n+1) \cdot 2^n \stackrel{n \geq 4}{\geq} 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} \quad \Box \end{eqnarray*}$

Meine Frage:
Nur anhand des I.S. ist nicht ersichtlich, dass diese Ungleichung nur für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$ gilt, und nicht etwa auch für n = 3.
Bspw. wäre ja für n = 3 eigentlich folgendes im I.S. auch gegeben:

$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot 2^n =(3+1) \cdot 2^n = 4 \cdot 2^n \geq 2 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$

Trotzdem stimmt die Ungleichung dann nicht, weil für n=3:

$\begin{eqnarray*} 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \ngeq 2^3 = 2^2 \cdot 2^1 = 4 \cdot 2 = 8 \end{eqnarray*}$

Ich frage mich also, ob das allgemein so ist?
Also wie in dem Beispiel, falls man die Bedingung $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$ in der I.V. einfach weglässt, ist nicht zu erkennen, dass n größer gleich 4 sein muss.

Ich hoffe ihr versteht, was ich meine. Augenzwinkern

Meine Ideen:
Es muss in der I.V. vorgegeben sein. Nur anhand des I.S. ist es nicht zu erkennen.

16.10.2013, 13:24

Math1986

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RE: Generelle Frage zum Beweis per vollständiger Induktion
Der induktionsanfang würde mit $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ doch überhaupt nicht funktionieren geschockt

16.10.2013, 13:29

Kasen75

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RE: Generelle Frage zum Beweis per vollständiger Induktion

Zitat:

Original von jimmyt

Meine Ideen:
Es muss in der I.V. vorgegeben sein. Nur anhand des I.S. ist es nicht zu erkennen.

Wenn die Definitionsmenge für n nicht vorgegeben ist, dann musst du sie ermitteln. Hier heißt das, du probierst für verschiedene Werte von n solange aus, bis die Ungleichung gültig ist.

Grüße.

16.10.2013, 13:34

Guppi12

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Dieses Beispiel zeigt gut, dass der Induktionsanfang eben ein wichtiger Bestandteil des Beweises ist und man allein daraus, dass der IS für eine größere Menge gilt noch nichts ablesen kann.

Ganz extremes Beispiel: n=n+1 f.a nat. n.

Der IS klappt hier sogar für alle n, d.h. allein aus dem IS kann man garnicht ablesen, dass die Aussage falsch ist. Aber natürlich bekommt man keine Verankerung.

16.10.2013, 13:54

jimmyt

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RE: Generelle Frage zum Beweis per vollständiger Induktion

Zitat:

Original von Math1986
Der induktionsanfang würde mit $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ doch überhaupt nicht funktionieren geschockt

Sorry, aber du hast meine Frage nicht verstanden. Augenzwinkern

Ich weiß selber, dass der I.A. mit $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ nicht funktioniert. Das habe ich ja sogar gepostet.

Aber Kasen75 und Guppi12 haben die Frage gut beantwortet.
Das war auch meine Vermutung, ich wollte es nur bestätigt haben. Augenzwinkern

Danke euch.

16.10.2013, 13:57

jimmyt

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RE: Generelle Frage zum Beweis per vollständiger Induktion

Zitat:

Original von Kasen75
... Hier heißt das, du probierst für verschiedene Werte von n solange aus, bis die Ungleichung gültig ist.

Grüße.

Das kann aber unter Umständen lange dauern ... smile