Urnenmodell (Spiel) Gewinnchancen

16.10.2013, 17:24

steviehawk

Urnenmodell (Spiel) Gewinnchancen

Meine Frage:
Hallo Leute,

folgendes Problem:

2 Kinder spielen folgendes Spiel: Sie haben eine Urne mit k schwarnzen Kugeln und einer roten Kugel. Sie ziehen abwechselnd eine Kugel aus der Urne und legen sie auf den Tisch. Wer die rote Kugel zieht gewinnt. Kind 1 möchte beginnen um seine Gewinnchancen zu erhöhen.

Frage: Erhöht Kind 1 damit seine Gewinnchancen tatsächlich?

Meine Ideen:
Also ich habe noch nicht viel Erfahrung mit WT.

Ich habe mal folgendes festgestellt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (\text{rote Kugel im n-ten Zug}) = \frac{1}{k-(n-2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (\text{schwarze Kugel im n-ten Zug}) = \frac{k-(n-1)}{k-(n-2)} \end{eqnarray*}$

Weiß jetzt aber nicht, was ich daraus schlussfolgern kann???

Danke für die Hilfe!

16.10.2013, 17:54

HAL 9000

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Dieses Problem behandelt man am besten "ganzheitlich". smile

Man kann die Kugeln von $\begin{eqnarray*} 1,2,\ldots,k+1 \end{eqnarray*}$ numerieren, und zwar in der Reihenfolge, wie sie gezogen werden.

Die rote Kugel hat nun zufällig gleichverteilt eine dieser $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ Nummern:

Ist sie ungerade, gewinnt Spieler 1 - ist sie gerade, gewinnt Spieler 2.

Jetzt muss man noch abzählen, wieviel gerade und wieviel ungerade Zahlen es in $\begin{eqnarray*} 1,2,\ldots,k+1 \end{eqnarray*}$ gibt, um die Siegwahrscheinlichkeiten der beiden Spieler zu berechnen. Dann wird man sehen, dass die Antwort auf die Frage in der Aufgabenstellung davon abhängt, ob $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade oder ungerade ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von steviehawk
Ich habe mal folgendes festgestellt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (\text{rote Kugel im n-ten Zug}) = \frac{1}{k-(n-2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (\text{schwarze Kugel im n-ten Zug}) = \frac{k-(n-1)}{k-(n-2)} \end{eqnarray*}$

Ist so geschrieben falsch und müsste stattdessen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P \left(\text{rote Kugel im n-ten Zug} \Bigm| \mbox{schwarze Kugeln in den Zügen 1..n-1}\right) = \frac{1}{k-(n-2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb P \left(\text{schwarze Kugel im n-ten Zug} \Bigm| \mbox{schwarze Kugeln in den Zügen 1..n-1} \right) = \frac{k-(n-1)}{k-(n-2)} \end{eqnarray*}$

16.10.2013, 19:33

steviehawk

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Hallo HAL9000

Fall1: $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade

dann wären es bei "nur" $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ - Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ ungerade Zahlen und da $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade war, ist $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ auch ungerade. Damit gibt es $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2} + 1 \end{eqnarray*}$ ungerade Zahlen. Entsprechend $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ gerade Zahlen

Fall2: $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ungerade

dann ist ja $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ gerade. Also gibt es bei den insgesamt $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ Zahlen genau $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{2} \end{eqnarray*}$ gerade und $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{2} \end{eqnarray*}$ ungerade Zahlen.

Damit gibt es im Falle, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade ist, mehr ungerade Zahlen in der Nummerierung von $\begin{eqnarray*} 1...k+1 \end{eqnarray*}$ als im Falle, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ungerade ist.

Das heißt letzten Endes: Falls $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gerade war, erhöhen sich die Gewinnchancen, falls man mit ziehen beginnt. Ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ungerade, so ist egal wer beginnt.

passt die Schlussfolgerung?

16.10.2013, 19:37

HAL 9000

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Exakt so ist es. Freude

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