Riemann-Integrierbarkeit

16.10.2013, 19:10	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-Integrierbarkeit Meine Frage: Sei {q_n: n aus N} eine Durchnummerierung der rationalen Zahlen aus dem Intervall [0,1]. $\begin{eqnarray} f_{k}(x):= \sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-n}(x-q_{n})^{2}(1-(x-q_{n})^{2})^{k-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f:=\sum\limits_{k=1}^\infty f_{k} \end{eqnarray}$ Sind f_k bzw f Riemann-integrierbar auf [0,1]? Meine Ideen: Die Funktionen sind also auf Beschränktheit und (fast überall-) Stetigkeit zu überprüfen. Meiner Meinung nach ist jedes einzelne f_k nichtnegativ und durch 1 beschränkt. Ich vermute, dass die f_k stetig sind, weiß aber nicht, wie ich das zeigen kann..
16.10.2013, 19:24	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte für ein festes k die Partialsummen von $\begin{eqnarray} f_k \end{eqnarray}$ und zeige, dass diese stetig sind und gleichmäßig konvergieren.
16.10.2013, 20:44	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Wenn man nur eine Partialsumme betrachtet, könnte man argumentieren, dass sie als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig ist.. Aber mir fällt nichts ein, wie ich die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen gegen f_k zeigen kann. (Muss ja auch gar nicht stimmen)
16.10.2013, 20:54	LonZealot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau, so argumentiert man für die Stetigkeit. Es muss keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen, das ist richtig. Aber in diesem Fall liegt gleichmäßige Konvergenz vor. Um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen, bietet sich das Weierstraß-Kriterium an.
16.10.2013, 22:40	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke hab mit Weierstraß die gleichmäßige Konvergenz von f_k gezeigt, also ist f_k stetig weil die Partialsummen von f_k stetig sind. Nun zu f: Die Folge der Partialsummen von f konvergiert doch, also ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty f_{k} = f \end{eqnarray}$ konvergent und somit ist f beschränkt (weil auch f>=0 gilt) aber wie geht's weiter? Die gleichmäßige Konvergenz von f zu zeigen gelingt mir nicht, ich glaube das dies auch nicht der Fall ist.

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