Abbildungen und Mengen

16.10.2013, 19:21

Juliette19

Abbildungen und Mengen

Meine Frage:
Guten Abend. Gegeben seien die Mengen $\begin{eqnarray*} M, N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: \rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \rightarrow C. \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie:

1) Sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv, so auch $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$

2) Ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv, so auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Eine Funktion heißt ja injektiv, wenn alle Objekte aus der Definitionsmenge ein Objekt aus der Zielmenge treffen, wobei es auch Objekte in der Zielmenge geben kann die nicht getroffen werden.

g verkettet f oder f nach g ist dann injektiv wenn f und g injektiv sind. Toll. Nur irgendwie weiß ich nicht wieso das so sein soll, geschweige wie ich das zeigen soll.

16.10.2013, 23:24

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildungen und Mengen

Zitat:

Original von Juliette19
Meine Frage:
Guten Abend. Gegeben seien die Mengen $\begin{eqnarray*} M, N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: \rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \rightarrow C. \end{eqnarray*}$

Magst du diese Angaben nochmal richtigstellen? So macht das keinen Sinn. Wo kommen M und N vor? Von wo bilden f und g ab?

Zum Beispiel zur 1)

Wir setzen voraus, dass f und g injektiv sind. Nun nehmen wir an:

$\begin{eqnarray*} g(f(a))=g(f(b)) \end{eqnarray*}$

Und zeigen wollen wir nun: $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ . Nutze dazu, dass f und g injektiv sind. Ist ganz einfach.

Wenn du das hast, kriegst du auch sofort eine Idee für die 2). Da bietet sich z.B. ein kleiner Widerspruchsbeweis an.

16.10.2013, 23:38

Juliette19

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildungen und Mengen
Gegeben seien die Mengen $\begin{eqnarray*} M, N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: B \rightarrow C. \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie:

1) Sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv, so auch $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$

2) Ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ injektiv, so auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Danke und Entschuldigung, jetzt stimmt's.

Ist ganz einfach verwirrt

? Schön wär's.

$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und ich soll nutzen, dass f und g injektiv sind? How?

17.10.2013, 00:01

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildungen und Mengen

Zitat:

Original von Juliette19
Gegeben seien die Mengen $\begin{eqnarray*} M, N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: B \rightarrow C. \end{eqnarray*}$

Okay, so machen die Abbildungsvorschriften Sinn. M und N kommen in späteren Teilaufgaben, oder wie?

Zitat:

Original von Juliette19
$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und ich soll nutzen, dass f und g injektiv sind? How?

Naja... der Beweis ist ein Einzeiler. Schwierig, da noch einen Tipp zu geben. Wenn

$\begin{eqnarray*} g(f(a))=g(f(b)) \end{eqnarray*}$

gilt, was liefert dir dann die Injektivität von g für eine Erkenntnis?

17.10.2013, 00:17

Juliette19

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildungen und Mengen

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Okay, so machen die Abbildungsvorschriften Sinn. M und N kommen in späteren Teilaufgaben, oder wie?

Gegeben seien die Mengen $\begin{eqnarray*} A, B, C \end{eqnarray*}$ das Übungsblatt war noch ein "Prototyp" wie ich jetzt sehe.

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Juliette19
$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und ich soll nutzen, dass f und g injektiv sind? How?

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt injektiv, wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ höchstens ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ .
"Höchstens eines" bedeutet ja dabei: keines oder genau eines, aber nicht mehrere.

Allgemein gesagt. Auf die Aufgabe bezogen verwirrt

tue ich mich irgendwie schwer.

Was für eine Erkenntnis, naja wenn $\begin{eqnarray*} g(f(a))=g(f(b)) \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt ja auch gute Frage, was gilt auch noch?
$\begin{eqnarray*} g(f(b))= g \circ f \end{eqnarray*}$ das stimmt doch so? Aber wieso ist dann die Verkettung auch injektiv?

17.10.2013, 00:20

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Für Injektivität gibt es mehrere äquivalente Definitionen. Bei Wikipedia kannst du ja mal reinschauen, unter "Definitionen". Für dich besonders interessant an dieser Stelle ist die zweite Formulierung. Die kannst du hier direkt benutzen.

17.10.2013, 00:26

Juliette19

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da habe ich schon reingeschaut. Ich verstehe nur nicht wieso die Verkettung der Funktionen f und g auch injektiv sein soll verwirrt

Und wie ich das konkret beweise, weiß ich auch nicht so recht. Das $\begin{eqnarray*} g(f(a))=g(f(b)) \end{eqnarray*}$ ist ja nichts anderes als die zweite Definition aus Wiki.

17.10.2013, 00:39

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} g(f(a))=g(f(b)) \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt, da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung injektiv ist, $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ und da auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung injektiv ist, folgt also $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und das war zu beweisen. Fertig.

17.10.2013, 00:50

Juliette19

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe dann nicht ganz genau was mir dann das
Wenn $\begin{eqnarray*} g(f(a))=g(f(b)) \end{eqnarray*}$ sagen soll verwirrt

2) Durch Widerspruch?

Neue Frage »

Antworten »

Abbildungen und Mengen

Verwandte Themen