Integral berechnen

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16.10.2013, 20:16

Happyhour

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Integral berechnen

wie kann ich $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (3^{3x+2} ) \, dx \end{eqnarray*}$ integrieren?

16.10.2013, 20:18

grosserloewe

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RE: Komisches integral
Wink

Substituiere z= 3x+2

16.10.2013, 20:19

alterHund

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ersetze 3 durch e^ln3

16.10.2013, 20:19

Happyhour

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RE: Komisches integral
ja aber dann kommt bei mir 1^u * dx raus?

16.10.2013, 20:21

grosserloewe

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RE: Komisches integral
Wink

Wen meinst Du?

16.10.2013, 20:24

Happyhour

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RE: Komisches integral
wie geht das weiter mimi substituieren?

16.10.2013, 20:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Happyhour
ja aber dann kommt bei mir 1^u * dx raus?

Bitte mach nicht auf der Basis einer solchen ungeprüften (und falschen) Umformung Sinnlos-Threads wie den hier

Was ist 1 ^x integriert

auf, ansonsten wird das Board überflüssigerweise überflutet. unglücklich

16.10.2013, 20:25

Happyhour

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ok alles klar kann mir das jz jemand erklören? Forum Kloppe

16.10.2013, 20:29

alterHund

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zerlege folgendermaßen
$\begin{eqnarray*} 3^{3x+2} = 9\cdot 3^{3x} \end{eqnarray*}$
und dann wie schon gesagt, $\begin{eqnarray*} 3 = e^{ln3} \end{eqnarray*}$

16.10.2013, 20:29

grosserloewe

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Substituiere und bilde doch mal dz/dx.

Was erhälst Du dann?

PS : sage doch wirklich mal, mit wem Du sprichst?
Sonst macht es wenig Sinn mit 2 Leuten zu gleich.

16.10.2013, 20:39

Happyhour

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Also ich krieg $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{3^{u} }{3} \, du \end{eqnarray*}$ heraus

16.10.2013, 20:39

Kequazo

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wie schon gesagt zerlegst du das ganze in in ein Produkt, wobei der eine Teil eine Konstante ist und vor das Integral gezogen werden kann
$\begin{eqnarray*} 3^{2} *3^{3x} \end{eqnarray*}$

das integrieren fürht mit der vorgezogenen konstanten zu
$\begin{eqnarray*} 9 \int_a^b \! 3^{3x} \, dx \end{eqnarray*}$

wie gesagt ersetzt du jetzt
3x durch u und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} e^{ln(3)} \end{eqnarray*}$

über potenzrechenregeln folgert also
$\begin{eqnarray*} 9 \int_a^b \! e^{ln(3)*u} \, du \end{eqnarray*}$

und dx wird zu 1/3 du
davon ist die stammfunktion
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(3)} *e^{ln(3)*u} \end{eqnarray*}$

das ganze wird also mit dr vorgezogehgen 9 da konstant und dem 1/3 das auch konstant ist zu
$\begin{eqnarray*} \frac{3*3^{u} }{ln(3)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u=3x \end{eqnarray*}$ und rücksubstitution erhällst du $\begin{eqnarray*} \frac{3*3^{3x} }{ln(3)} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \frac{3^{3x+1} }{ln(3)} \end{eqnarray*}$

allternativ kannst du auch direkt den ganzten ausdruck 3x+2 substituieren

16.10.2013, 20:42

Happyhour

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wow danke

mir wäre der weg mit der Substitution des ganze termes lieber wie funktioniert der genau?

16.10.2013, 20:52

grosserloewe

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es ist dx=dz/3

------->

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int 3^{z} \, dz \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \frac{3^{z} }{ln (3)} +C \end{eqnarray*}$

nach anschließender Resubstitution kommt man auf das gleiche Ergebnis.

dabei ist

$\begin{eqnarray*} \int a^{z} \, dz = \frac{a^{z} }{ln a} +C \end{eqnarray*}$

ein Grundintegral

16.10.2013, 21:15

Kequazo

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naja, du substituierst
$\begin{eqnarray*} 3x+2= u \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} 3 dx=du \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} dx= du/3 \end{eqnarray*}$

jetzt gehst du wie gewohnt vor wie bei der anderen rechnung, du ziehst das 1/3 als konstante vor das integral und ersetzt
$\begin{eqnarray*} 3^{u} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} e^{ln(3)u} \end{eqnarray*}$

wie der vorposter schon sagte ist das ein grundintegral, dessen stammfunktion er auch angegeben hat
durch das 1/3 als faktor veriingert sich der exponent aber um 1 ( denke sollte klar sein) womit du zusammenfassen kannst zu $\begin{eqnarray*} \frac{3^{3x+2-1} }{ln(3)} = ... \end{eqnarray*}$ siehe oben

sollte dir das mit dem grundintegral nicht klar sein kannst du dir auch das durch substitiution wieder herleiten.
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \!e^{ln(3)*u} \, du \end{eqnarray*}$
substituieren ln(3)*u=t, daraus folgt analog zu oben ln(3) du=dt, also dt =du/ln(3),
wobei du das 1/ln(3) als konstante wieder vor das integral ziehen kannst zu
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(3)} \int_a^b \!e^{t} \, dt \end{eqnarray*}$
von e^t ist die stammfunktion e^t, zurücksubstituieren mit t=ln(3)u, führt zu
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(3)} e^{ln(3)u} = \frac{3^{u} }{ln(3)} \end{eqnarray*}$
jetzt nicht die 1/3 von der substitution durch u vergessen dirch die sich der exponent wieder verringert und das wars schon

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