Rotation einer Funktion

16.10.2013, 20:27

daniel22

Rotation einer Funktion

Meine Frage:
Hallo,

Die Funktion wird um die z-Achse rotiert.

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{16-x^2} \end{eqnarray*}$

- Wie lautet die Gleichung im 3-dim. Raum?
Gibt es dafür eine Rechenoperation?
- Für welche Wertepaare (x,y) ist sie definiert?

17.10.2013, 02:01

mYthos

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Überlege:
- Welche Kurve stellt die Gleichung in der x-z - Ebene dar?
- Welcher Körper entsteht dann bei der Rotation dieser Kurve?
- Für welche Zahlen ist die Quadratwurzel reell?

mY+

17.10.2013, 17:23

daniel22

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Diese Funktion ist ein Halbkreis.
Bei Rotation um die z-Achse ergibt das eine Halbkugel.
Für $\begin{eqnarray*} D=\left\{|x| \leq 4\right\} \end{eqnarray*}$

Was jetzt?

17.10.2013, 18:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von daniel22
$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{16-x^2} \end{eqnarray*}$

- Wie lautet die Gleichung im 3-dim. Raum?
Gibt es dafür eine Rechenoperation?

(Weitgehend) unabhängig von der konkreten Funktion $\begin{eqnarray*} z = f(x) \end{eqnarray*}$ :

Ein Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,z_0) \end{eqnarray*}$ dieser Kurve besitzt im Fall $\begin{eqnarray*} x_0>0 \end{eqnarray*}$ genau die Entfernung $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ von der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse. Wird nun dieser Punkt um die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse rotiert, so bilden das einen Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} r=x_0 \end{eqnarray*}$ mit jeweils gleicher $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Koordinate, also $\begin{eqnarray*} z=z_0 \end{eqnarray*}$ . Die zugehörige Kreisgleichung ist $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ , somit ist

$\begin{eqnarray*} z = z_0 = f(x_0) = f(r) = f(\sqrt{x^2+y^2}) \end{eqnarray*}$ , kurz $\begin{eqnarray*} z = f(\sqrt{x^2+y^2}) \end{eqnarray*}$

die Gleichung der Rotationsfläche im Raum.

17.10.2013, 20:46

daniel22

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Die Halbkugel im Raum lautet dann:

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{16-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

18.10.2013, 00:00

mYthos

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Die Gleichung der HK ...
Und weil es der oberhalb der x-y - Ebene liegende Teil der Kugel (--> Halbkugel) ist, ist $\begin{eqnarray*} z \geq 0 \end{eqnarray*}$ (die Wurzel ist positiv).

mY+

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