Uneigentliches Integral auf Konvergenz untersuchen

16.10.2013, 21:01

Spitzname:

Uneigentliches Integral auf Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Hi,

ich möchte für $\begin{eqnarray*} f(x):=ln(x)cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \displaystyle\int_0^\pi f(x)dx \end{eqnarray*}$
auf Konvergenz untersuchen.

Meine Ideen:
Ich hätte jetzt wie folgt argumentiert: Es gilt $\begin{eqnarray*} |f(x)|\le ln(x) \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \displaystyle\int_0^\pi ln(x)=\left[(ln(x)-1)x\right]_0^\pi \end{eqnarray*}$ offenkundig konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch $\begin{eqnarray*} \displaystyle\int_0^\pi f(x)dx \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Erscheint mir zu einfach Augenzwinkern

16.10.2013, 21:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spitzname:
Es gilt $\begin{eqnarray*} |f(x)|\le ln(x) \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ .

Dabei vergisst du anscheinend, dass $\begin{eqnarray*} \ln(x)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ ist. Es gilt also allenfalls

$\begin{eqnarray*} |f(x)| \le |\ln(x)| \end{eqnarray*}$

im genannten Intervall. Allerdings bringt dieser kleine Fehler deine Argumentation nicht zum Einsturz, du musst sie nur leicht korrigieren. Augenzwinkern

16.10.2013, 21:33

Leopold

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Vorbehaltlich Konvergenz folgt mittels partieller Integration wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left( \ln(x) \cdot \sin(x) \right) = 0 \end{eqnarray*}$ die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi} \ln x \cdot \cos x ~ \dd x = - \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite existiert (der Integrand ist bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzbar), also auch die linke.

16.10.2013, 22:10

Spitzname:

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dabei vergisst du anscheinend, dass $\begin{eqnarray*} \ln(x)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ ist.

Du hast recht, dass habe ich tatsächlich vergessen. Es ist aber dennoch: $\begin{eqnarray*} |ln(x)cos(x)|\le -ln(x) \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} |ln(x)cos(x)|\le ln(x) \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} x\in [1,\pi] \end{eqnarray*}$ . Ferner ist $\begin{eqnarray*} \displaystyle\int_0^1 -ln(x)dx+\int_1^\pi ln(x)dx \end{eqnarray*}$ konvergent. Also folgt weiterhin die Behauptung, oder?

LG
Spitzname:

16.10.2013, 22:17

HAL 9000

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Genau das habe ich mit

Zitat:

Original von HAL 9000
Allerdings bringt dieser kleine Fehler deine Argumentation nicht zum Einsturz, du musst sie nur leicht korrigieren.

gemeint.