Integration einer periodischen Funktion mit e-Funktion

17.10.2013, 09:19	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration einer periodischen Funktion mit e-Funktion Hallo, ich habe eine Funktion folgender Form: $\begin{eqnarray} f(x) = \mathrm{e}^{-a x} \int \, g(x) \cdot \mathrm{e}^{a x} ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass g(x) periodisch ist und a>0 . Gibt es eine Möglichkeit die Funktion f(x) zu vereinfachen, ohne die Funktion g(x) genauer zu kennen? -- Das Problem stammt aus einer inhomogenen DGL 1. Ordnung und falls der Helfer mehr über die Herkunft und das Ziel wissen mag, dann bin ich gerne dazu bereit mehr zu schreiben
17.10.2013, 10:02	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nicht mehr über g(x) weißt, kannst du das Integral nicht weiter vereinfachen. Insbesondere bekommt man das g(x) nicht aus dem Intgegral heraus. Zwar kann man das Integral durch partielle Integration etwas umformen, aber einfacher wird es dadurch nicht. Du kannst ja mal schreiben, woher das Problem stammt.
17.10.2013, 10:29	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das dachte ich mir auch schon. Ich beschäftige mich mit der kapazitiven Energiespeicherung und betrachte Ströme durch den Isolator. Um dies in Formeln darzustellen, verwende ich ein Ersatzschaltbild eines realen Kondensators. Das ist im Allgemeinen ein zusätzlicher paralleler Widerstand zur Kapazität. Mit diesen Überlegungen bekommt man eine DGL für die Ladung am Kondensator: $\begin{eqnarray} \dot{q}_1(t) + \left( \frac{1}{c \cdot R_s} + \frac{1}{c \cdot R_p}\right) q_1(t) = \frac{1}{R_s} u(t) \end{eqnarray}$ Erklärung der Symbole: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{array}{ll}<br /> q_1 \quad & \ldots \quad \text{Ladung am Kondensator} \\<br /> R_s \quad & \ldots \quad \text{Serienwiderstand} \\<br /> R_p \quad & \ldots \quad \text{Isolationswiderstand} \\<br /> c \quad & \ldots \quad \text{Kapazität} \\<br /> u \quad & \ldots \quad \text{Äußere Spannung}<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ Da der Isolationsstrom proportional zur Ladung am Kondensator ist, löse ich die oben stehende DGL: $\begin{eqnarray} i_2(t) \propto q_1(t) = \left( \frac{1}{R_s} \int \, u(t) \cdot \mathrm{e}^{a t} \, \mathrm{d}t + c_1 \right) \mathrm{e}^{-a t} \quad \text{mit } a=\frac{1}{c \cdot R_s} + \frac{1}{c \cdot R_p} \end{eqnarray}$ Diesen Ausdruck will ich weitest gehend vereinfachen, da ich für die Ladung am Parallelwiderstand die Stromstärke erneut integrieren muss. Im Experiment weiß ich, dass die Spannung periodisch ist und entweder sinus- oder dreieckförmig ist. Anscheinend bleibt mir nichts anderes übrig, als eine Fallunterscheidung zu machen.
17.10.2013, 12:16	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung deiner Dgl. ist formal richtig. Wie gesag, man kann die Sache nicht weiter vereinfachen. ----------------- Ich hatte hier zuerst eine komplizierte allgemeine Herleitung deiner Dgl. hingeschrieben, die ich aber gelöscht habe, weil sie auf das gleicher Ergebnis wie bei dir.
17.10.2013, 13:09	stereo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine große Mühe, welche du dir gemacht hast

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