Mengen

17.10.2013, 09:41

Math12

Mengen

Meine Frage:
An einer brutalen Schlacht nahmen 100 Piraten teil. Min-
destens 70 von ihnen haben dabei ein Auge verloren, mindestens 75 ein Ohr, min-
destens 80 einen Arm und mindestens 85 ein Bein. Was ist die kleinstmogliche
Zahl von Kampfern, die gleichzeitig ein Auge, ein Ohr, einen Arm und ein Bein
verloren haben?

Meine Ideen:
Ich habe die einzelnen Mengen mit Ar,Au,O,B bezeichnet und jeweils die Teilmengen die die sich mit den anderen Mengen überschneiden aufgeschrieben,
z.B. B:={x1,x3,x4,x5,x7,x9,x10} usw.
der Lösungsweg kommt mir irgendwie sehr lang vor. Geht es irgendwie kürzer?

17.10.2013, 10:13

HAL 9000

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Wir suchen das Minimum von $\begin{eqnarray*} |Ar\cap Au \cap O \cap B| \end{eqnarray*}$ , die Grundmenge aller beteilgten Piraten sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , d.h. mit $\begin{eqnarray*} |\Omega|=100 \end{eqnarray*}$ .

Nun, es ist einfach

$\begin{eqnarray*} |Ar\cap Au \cap O \cap B| &=& |\Omega| - |(Ar\cap Au \cap O \cap B)^c| = |\Omega| - |Ar^c\cup Au^c \cup O^c \cup B^c| \\ &\geq& |\Omega| - (|Ar^c|+|Au^c|+|O^c|+|B^c|) = 100-(30+25+20+15) = 10 \end{eqnarray*}$ ,

und diese Anzahl 10 ist auch tatsächlich erreichbar - mal über die Rechnung nachdenken, dann sollte auch klar sein, wie. Augenzwinkern

17.10.2013, 10:19

Math12

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was ict denn mit c gemeint

17.10.2013, 10:21

HAL 9000

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Komplementärmenge in Bezug auf die Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} X^c := \Omega\setminus X \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ich hatte mich oben noch in der Klammer verschrieben (das kommt davon, wenn man sich erst spät für so eine Einklammerung entscheidet Augenzwinkern

) - ist jetzt korrigiert. Augenzwinkern

17.10.2013, 10:25

Interessierter90

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Wenn ich mich mal einmischen darf. Und wie wird aus dem Durchschnitt auf einmal die Vereinigung?

17.10.2013, 10:27

HAL 9000

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Grundlagen der Mengenlehre
http://de.wikipedia.org/wiki/De_Morgansche_Gesetze

17.10.2013, 10:34

Interessierter90

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RE: Grundlagen der Mengenlehre
Um ehrlich zu sein, kann ich die dort aufgetroffenen Regeln nicht auf das Problem bei der Aufgabenstellung übertragen. Also ich seh's nicht, wo das Negieren sich dort verbirgt.

17.10.2013, 10:46

HAL 9000

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Solche Zwischenrufe sind wenig hilfreich, wenn du nicht konkret sagst, wo es beim Verständnis hapert. Geht es vielleicht gleich um die erste Umformung

$\begin{eqnarray*} |Ar\cap Au \cap O \cap B| &=& |\Omega| - |(Ar\cap Au \cap O \cap B)^c| \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Für Teilmengen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ einer endlichen Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ gilt für deren Mächtigkeit

$\begin{eqnarray*} |X^c| = |\Omega\setminus X| = |\Omega|-|X| \end{eqnarray*}$ bzw. umgestellt auch $\begin{eqnarray*} |X| = |\Omega|-|X^c| \end{eqnarray*}$ .

Das kann man natürlich auch auf $\begin{eqnarray*} X = Ar\cap Au \cap O \cap B \end{eqnarray*}$ anwenden.

17.10.2013, 11:10

Interessierter90

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Mein Zwischenruf war was man bei diesem Schritt tut. "Und wie wird aus dem Durchschnitt auf einmal die Vereinigung?"

$\begin{eqnarray*} |\Omega| - |(Ar\cap Au \cap O \cap B)^c| = |\Omega| - |Ar^c\cup Au^c \cup O^c \cup B^c|...= 10 \end{eqnarray*}$

Daraufhin hast du mir den Link mit dem Wikipediaartikel zu den de Morganschen Regeln geschickt. Damit nehme ich mal an, dass diese bei dem Schritt verwendet werden müssen

Die besagen ja:
nicht (a und b) = (nicht a) oder (nicht b)
nicht (a oder b) = (nicht a) und (nicht b)

Oder in anderer Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} \neg {(a \wedge b)} = \neg{a} \vee \neg{b} \\ \neg {(a \vee b)} = \neg{a} \wedge \neg{b} \end{matrix} \end{eqnarray*}$

"Um ehrlich zu sein, kann ich die dort aufgetroffenen Regeln nicht auf das Problem bei der Aufgabenstellung übertragen. Also ich seh's nicht, wo das Negieren sich dort verbirgt."

Mit anderen Worten wo kommen die Regeln bei der Aufgabe zur Anwendung/zum Gebrauch?

17.10.2013, 11:21

adiutor62

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Doppelpost sind unerwüscht.

http://www.onlinemathe.de/forum/Piratenschlacht-Denkaufgabe

17.10.2013, 11:28

HAL 9000

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@Interessierter90

Schau den Wikipedia-Artikel bitte mal gründlicher durch, bevor du hier inflationär rumjammerst:

Es gibt die DeMorgan-Regeln auch für Mengen. Forum Kloppe

17.10.2013, 11:47

Interessierter90

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dieser Smiley versetzt mich in die Rolle eines Kindes aus der dritten Welt, dass von den guten Helfern etwas zu Essen bekommt, nach dem Motto "Iss das auf, oder stirb!"

Man kann auch nach gründlichem Durchlesen des Artikels immer noch nicht diesen Schritt nachvollziehen Wink

Da auch $\begin{eqnarray*} \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} \end{eqnarray*}$ einem Erstsemester komisch vorkommen könnte.

Man hätte aber auch auf das Komplement verweisen, können, da dieser Artikel doch nützlicher ist.

Vielen Dank für Deine Aufmerksamkeit und Hilfe Hal 9000

17.10.2013, 12:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Interessierter90
Da auch $\begin{eqnarray*} \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} \end{eqnarray*}$ einem Erstsemester komisch vorkommen könnte.

Man kann natürlich alles mögliche aus dem Schulunterricht vergessen, selbst wichtige Grundlagen. Das ist aber noch lange kein Grund einzufordern, dass einem diese Grundlagen hier im Board nochmal geduldig erklärt werden: Auch von einem Erstsemester kann man verlangen, dass er spätestens nach dem Linkverweis seine Versäumnisse mit etwas Selbständigkeit nachholt.

Zu deinem ergreifenden Selbst-Opferrollenbild "Kind aus der dritten Welt": ROFL

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