Betrag Dreiecksungleichung unendliche Summe

17.10.2013, 10:39	Matha	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag Dreiecksungleichung unendliche Summe Meine Frage: Kann / Darf man schreiben? $\begin{eqnarray} \|\sum\limits_{k=0}^\infty a_k \|\leq \sum\limits_{k=0}^\infty \|a_k\| \end{eqnarray}$ Im Endlichen ist die Sache ja klar. Aber gilt das auch im Unendlichen? Meine Ideen: Vom Gefühl her würde ich ja sagen. Solange $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \|a_k\| < \infty \end{eqnarray}$ gilt. Aber sicher bin ich mir nicht.
17.10.2013, 11:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der korrekte, wasserdichte Nachweis: Du kannst für jede Partialsumme $\begin{eqnarray} s_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k \end{eqnarray}$ über die Dreiecksungleichung nachweisen $\begin{eqnarray} \|s_n\| \leq \sum\limits_{k=0}^n \|a_k\| \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty} \|a_k\| =: a \end{eqnarray}$ . Im Konvergenzfall mit Reihenwert $\begin{eqnarray} s=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty} s_n \end{eqnarray}$ hast du nun $\begin{eqnarray} \|s-s_n\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq n_0(\varepsilon) \end{eqnarray}$ . Damit gilt für diese $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ wiederum laut Dreiecksungleichung $\begin{eqnarray} \|s\| \leq \|s_n\| + \|s-s_n\| < a+\varepsilon \end{eqnarray}$ . Da nun für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ diese Ungleichung $\begin{eqnarray} \|s\| < a+\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt, so folgt daraus $\begin{eqnarray} \|s\|\leq a \end{eqnarray}$ .

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