PDgl klassifizieren

17.10.2013, 11:47

1nstinct

PDgl klassifizieren

Hallo zusammen,

Ich will die folgenden partiellen Dgls klassifizieren also heraudfinden, ob eine lineare, semilineare, quasilineare oder nichtlineare PDgl vorliegt.

$\begin{eqnarray*} i) \, u_t-\Delta (u^2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ii) \, \operatorname {det} (\frac {\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j})_{i,j=1,..,n}=0 \end{eqnarray*}$

Zu i):

$\begin{eqnarray*} u_t-\Delta (u^2)=u_t-2\cdot \Delta(u)=0 \end{eqnarray*}$

Daher müsste diese Dgl linear sein.

Zu ii):

Da in den Einträgen der Matrix nur lineare Koeffizienten vom Wert 1 bezüglich der Ableitungen der Ordnung 2 auftreten, sind nach Berechnung der Determinante alle Koeffizienten der Ableitungen aller vorkommenden Ordnungen konstant 1, also ist diese PDgl linear.

Ich bin noch am Anfang der partiellen Differenzialgleichungen und würde mich über Hilfe freuen.

MfG

19.10.2013, 14:48

Che Netzer

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RE: PDgl klassifizieren

Zitat:

Original von 1nstinct
$\begin{eqnarray*} u_t-\Delta (u^2)=u_t-2\cdot \Delta(u)=0 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \Delta(u^2)=2\Delta u \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Da in den Einträgen der Matrix nur lineare Koeffizienten vom Wert 1 bezüglich der Ableitungen der Ordnung 2 auftreten, sind nach Berechnung der Determinante alle Koeffizienten der Ableitungen aller vorkommenden Ordnungen konstant 1, also ist diese PDgl linear.

Das ergibt für mich keinerlei Sinn. Schreib die Determinante doch mal beispielhaft für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ aus.

19.10.2013, 18:22

1nstinct

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RE: PDgl klassifizieren
Hallo,

Ok, neuer Versuch:

Ich betrachte nur den eindimensionalen Fall:

$\begin{eqnarray*} \Delta(u^2)=(u^2)_{xx}=(2u\cdot u_x)_x=2uu_{xx}+2u_xu_x \end{eqnarray*}$

Somit müsste $\begin{eqnarray*} u_t-\Delta(u^2)=0 \end{eqnarray*}$ quasilinear sein.

Zur Determinante:

Für den Fall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \operatorname {det} (\frac {\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j})_{i,j=1,2}=\frac {\partial^2u}{\partial x_1^2}\cdot \frac {\partial^2u}{\partial x_2^2}-(\frac {\partial^2u}{\partial x_1\partial x_2})^2 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfe

MfG

19.10.2013, 18:28

Che Netzer

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RE: PDgl klassifizieren

Zitat:

Original von 1nstinct
Somit müsste $\begin{eqnarray*} u_t-\Delta(u^2)=0 \end{eqnarray*}$ quasilinear sein.

Genau

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \operatorname {det} (\frac {\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j})_{i,j=1,2}=\frac {\partial^2u}{\partial x_1^2}\cdot \frac {\partial^2u}{\partial x_2^2}-(\frac {\partial^2u}{\partial x_1\partial x_2})^2 \end{eqnarray*}$

Und wie das klassifiziert wird, ist auch klar?

19.10.2013, 18:46

1nstinct

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RE: PDgl klassifizieren
Damit müsste diese PDgl nichtlinear sein.

Aber wie kann ich argumentieren, dass dies auch für n>2 gilt?

MfG

19.10.2013, 18:48

Che Netzer

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RE: PDgl klassifizieren
Die Determinante ergibt sich ja als Linearkombination von Produkten aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Einträgen der Matrix. Jeder Eintrag ist eine Ableitung höchster auftretender Ordnung.

19.10.2013, 20:22

1nstinct

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RE: PDgl klassifizieren
Super, vielen Dank für deine Hilfe smile

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