Banachscher Fixpunktsatz, Gesamtzusammenhang

17.10.2013, 15:10

perform

Banachscher Fixpunktsatz, Gesamtzusammenhang

Meine Frage:
Hallo zusammen.
Meine Frage bezieht sich auf die Numerik und auf einen möglichen Gesamtzusammenhang in diesem Gebiet.
So wie ich es verstanden habe, bildet ja der Banach`sche Fixpunktsatz eine Art Grundlage in der Numerik, der auf weitere Gebiete
Einfluss nimmt. So bspw. auf das Gauß-Verfahren ...

Meine Ideen:
Was der Banach`sche Fixpunktsatz aussagt, habe ich weitestgehend verstanden, nur eben den Zusammenhang auf die weiteren Gebiete nicht so ganz.
Dabei geht es ja darum, dass es genau einen Punkt in der Abb. (z.B. ein Punkt auf einer Landkarte...) der mit dem Urbild übereinstimmt(f(x)=x).
Könnt mir nun jemand, falls das überhaupt möglich ist, einen möglich kurzen Einblick in die erwähnten Zusammenhänge geben.

Vielen Dank schon mal im Vorraus!!

17.10.2013, 15:47

Math1986

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RE: Banachscher Fixpunktsatz, Gesamtzusammenhang
Hallo,
man braucht diesen Satz vor allem in Bezug auf Fixpunktiteration und Newton-Verfahren.

Schau dir mal folgendes Tutorial an: [WS] Fixpunktiterationen

Insbesondere hier wird der Zusammenhang zum Newton-Verfahren explizit deutlich gemacht:

Zitat:

Bei der Nullstellenbestimmung mittels Newton-Verfahren betrachtet man folgende Rekursion:

$\begin{eqnarray*} x_{k+1} := x_{k} - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \end{eqnarray*}$

Konvergiert das Verfahren, so gilt im Punkt x*, der gesuchten (hier einfachen) Nullstelle von f:

$\begin{eqnarray*} x^* - \frac{f(x^*)}{f'(x*)} = x^* - \frac{0}{f'(x^*)} = x^* \end{eqnarray*}$

D.h. x* ist Fixpunkt der wie folgt definierten Funktion g:

$\begin{eqnarray*} g(x):=x - \frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

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