Menge Beweis

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Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge Beweis
Hallo,

Wie gehe ich vor wenn ich A\A = B\B zeigen will?
ich würde erst einmal so herangehen


aber wie gehe ich jetzt weiter vor? Ich möchte nicht einfach die Definition benutzen, dass A\A die leere Menge ist.. Und somit etwas bewiesen wäre...

Ich hoffe mir kann jemand helfen ..LG
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge Beweis

Ab da erhältst du ja den Widerspruch, das es ein solches x nicht geben kann. Das führt zwangsweise darauf, dass A leer ist.
 
 
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Vorschlag (ohne dass ich gegen das Boardprinzip verstoßen oder Math1986 ärgern möchte):
Wie wäre es, wenn du vom Gegenteil ausgehst und das induktiv zum Widerspruch führst:









Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey vielen Dank für eure Antworten.
Math1886:
Danke: Ich habe das mal noch für B\backslash B gemacht. Halt genau so analog.
@jimmyt: Danke! Das ist mir aber irgendwie zu komplizert, ich weiss nicht wie ich dort vorgehen muss...

Liebe Grüüße
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Theend9219
...
@jimmyt: Danke! Das ist mir aber irgendwie zu komplizert, ich weiss nicht wie ich dort vorgehen muss...

Liebe Grüüße


War ja nur ein Vorschlag. smile
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Also trotzdem danke! Augenzwinkern
aber ich wär trotzdem noch daran interessiert wie die weitere vorgehensweise ist .. vielleicht wenn du lust hast könntest du mir 1,2,.. schritte mehr nennen ..

Liebe Grüße
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar. Ich würde das so machen:

Beweis durch Widerspruch:













Was hältst du davon? Zu kompliziert, oder ok? Augenzwinkern
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

jimmyt, ich kann das so nicht nachvollziehen.

Mengen sind nicht äquivalent zueinander, allenfalls Aussagen, die sich auf Mengen beziehen.
Und was heißt bzw bei dir? verwirrt

Nebenbei: stimmt so wohl auch nicht, ist nicht eher gemeint?
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986

Mengen sind nicht äquivalent zueinander, allenfalls Aussagen, die sich auf Mengen beziehen.
...


Ok, ist vlt. nicht ganz korrekt formuliert.



So besser?

Zitat:
Original von Math1986
...
Und was heißt bzw bei dir? verwirrt


Äquivalent bzw. nicht äquivalent. Ich glaube, das ist die alte Schreibweise.

Zitat:
Original von Math1986
...
Nebenbei: stimmt so wohl auch nicht, ist nicht eher gemeint?


Nein, es ist gemeint.
Ich gehe ja von etwas aus, was nicht sein kann. Ich möchte es ja zum Widerspruch führen. Und beide Seiten sind ungleich, wenn nach der Mengenoperation noch mindestens ein und ein übrig bleiben, für die gilt: . Dann wären die Mengen ungleich. Da das aber nicht sein kann, gibt es den Widerspruch. Augenzwinkern
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


es gilt aber .
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeykx
...
es gilt aber .


Wenn ich von der Menge die Menge abziehe, dann habe ich die leere Menge.
Ich möchte doch nur die drei Möglichkeiten aufzählen, unter denen die linke und die rechte Seite ungleich sind.

Das ist entweder, wenn noch wenigstens und übrig bleiben und ,
oder wenn eine von beiden Seiten die leere Menge ist und die jeweils andere Seite noch mindestens ein Element enthält.

Und diese 3 Möglichkeiten dann zum Widerspruch führen.

Vlt. ist dafür folgende Notation doch treffender:

bzw.

oder auch

anstatt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jimmyt
Ok, ist vlt. nicht ganz korrekt formuliert.



So besser?
Nein, nicht besser. Es ist nach Konstruktion


Zitat:
Original von jimmyt
Äquivalent bzw. nicht äquivalent. Ich glaube, das ist die alte Schreibweise.
Nein, ist es nicht, und bleib doch bitte bei einer Notation anstatt und in willkürlicher Weise simultan zu verwenden.

Zitat:
Original von jimmyt
Nein, es ist gemeint.
Nach Konstruktion ist:


Dein Versuch, die Aussage zu beweisen, scheitert offenbar daran, dass du den unterschied zwischen und nicht kennst. Der Rest des "Beweises" ist mir vollkommen unvollständig.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
...
Dein Versuch, die Aussage zu beweisen, scheitert offenbar daran, dass du den unterschied zwischen und nicht kennst. Der Rest des "Beweises" ist mir vollkommen unvollständig.


Ok, in Worten.
Ich gehe vom Gegenteil aus, also:



Dann versuche ich, meinetwegen auch mit fehlerhafter Notation, die 3 Möglichkeiten aufzuzeigen, bei denen die linke Seite ungleich der rechten Seite ist.

1. es gibt mindestens 1 ungleiches Paar von Elementen, also
2. linke Menge ist die leere Menge, rechte Menge hat mindestens ein Element
3. rechte Menge ist die leere Menge, linke Menge hat mindestens ein Element

Dann zeige ich, dass alle 3 Möglichkeiten nicht eintreten können.
So bekomme ich den Widerspruch.

Was ist dir daran jetzt unvollständig?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jimmyt
Dann versuche ich, meinetwegen auch mit fehlerhafter Notation, die 3 Möglichkeiten aufzuzeigen, bei denen die linke Seite ungleich der rechten Seite ist.

1. es gibt mindestens 1 ungleiches Paar von Elementen, also
2. linke Menge ist die leere Menge, rechte Menge hat mindestens ein Element
3. rechte Menge ist die leere Menge, linke Menge hat mindestens ein Element

Dann zeige ich, dass alle 3 Möglichkeiten nicht eintreten können.
So bekomme ich den Widerspruch.

Was ist dir daran jetzt unvollständig?
Na, wie zeigst du dennn, dass diese drei Möglichkeiten nicht eintreten können?

Du sagst ja selbst:
Zitat:
Original von jimmyt
Wenn ich von der Menge die Menge abziehe, dann habe ich die leere Menge.
Wenn du aber weißt, dass ist, dann kannst du auch direkt zeigen, dass ist.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
...
Wenn du aber weißt, dass ist, dann kannst du auch direkt zeigen, dass ist.


Na klar geht das auch direkt mit . smile

Aber die Ausgangsfrage war: Wie gehe ich vor, wenn ich zeigen will?
Und eine Möglichkeit ist Beweis durch Widerspruch. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Math1986
...
Na, wie zeigst du denn, dass diese drei Möglichkeiten nicht eintreten können?
...


Naja:
zu 1. die Idee von Theend9219, sprich
zu 2.
zu 3. analog zu 2.

Und das war's. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht und jede einzelne von den dreien führt zu einem Widerspruch.
Deswegen muss gelten: Augenzwinkern
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jimmyt
Zitat:
Original von Math1986
...
Wenn du aber weißt, dass ist, dann kannst du auch direkt zeigen, dass ist.


Na klar geht das auch direkt mit . smile

Aber die Ausgangsfrage war: Wie gehe ich vor, wenn ich zeigen will?
Und eine Möglichkeit ist Beweis durch Widerspruch. Augenzwinkern

Bitte nochmal die Ausgangsfrage lesen:
Zitat:
Ich möchte nicht einfach die Definition benutzen, dass A\A die leere Menge ist.

Genau diese Aussage verwendest du aber in deinem Beweis.

Zitat:
Original von jimmyt
Wenn ich von der Menge die Menge abziehe, dann habe ich die leere Menge.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
...
Bitte nochmal die Ausgangsfrage lesen:
Zitat:
Ich möchte nicht einfach die Definition benutzen, dass A\A die leere Menge ist.

Genau diese Aussage verwendest du aber in deinem Beweis.

Zitat:
Original von jimmyt
Wenn ich von der Menge die Menge abziehe, dann habe ich die leere Menge.


Naja, er schreibt, dass er nicht einfach die Definition benutzen möchte. Ich habe sie auch benutzt.
Aber ich merke schon, du kannst dich mit Beweis durch Widerspruch nicht anfreunden.
Wie wäre es damit:

Allgemeine Definitionen:

1. Mengen-Gleichheit:

2. leere Menge:

3. Mengen-Differenz:

Nächster Versuch:










Gefällt dir das besser, obwohl ich wieder die Definition der leeren Menge benutzt habe? Augenzwinkern
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin durchaus für einen Widerspruchsbeweis, allerdings nur dort, wo er auch wirklich sinnvoll ist und nicht zu einem unverhältnismäßigen Mehraufwand gegenüber meinem bereits dargelegten Beweis führt. unglücklich
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