DGL: zeigen, dass jede Lösung eine bestimmte Form hat

17.10.2013, 21:27	hanaikun	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL: zeigen, dass jede Lösung eine bestimmte Form hat Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zu einer Vorgehensweise zu einem bestimmten Aufgabentyp. Gegeben ist die DGL $\begin{eqnarray} y'' = -y \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass jede glatte, auf ganz R definierte Lösung von der Form $\begin{eqnarray} f(x) = asin(x) + bcos(x) \end{eqnarray}$ ist, wobei a und b unabhängige Konstanten sind. Mir fällt es schwer, einen Ansatz für diesen Typ von Aufgabe zu finden, d.h. wie schließe ich korrekt aus, dass es auch andere Lösungen gibt? Meine Ideen: Meine erste Idee war, es eher argumentativ zu lösen, sowas wie Polynome können ja unter keinen Umständen die Gleichung erfüllen, und Funktionen wie $\begin{eqnarray} a exp(-x) \end{eqnarray}$ auch nicht, da bei zweimaligem Ableiten das Vorzeichen nicht geändert würde. Allerdings finde ich das unschön und eher schwammig und wüsste auch nicht, was für Fälle ich betrachten muss. Meine nächste Idee wäre es, die DGL einfach nach Euler-Ansatz zu lösen und auf dem Weg festzustellen, dass ich keine andere Lösung finde - allerdings habe ich nachgeschaut und nirgends die Aussage gefunden, dass der Euler-Ansatz tatsächlich alle Lösungen finden, sondern nur, dass die gefundenen Lösungen existieren (wobei ich auch nirgends gegenteiliges gefunden habe). Ich bin sehr unsicher hierbei. Gehe ich in die richtige Richtung oder übersehe ich irgendwas? Danke im Vorraus
18.10.2013, 08:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} y''=-y \end{eqnarray}$ handelt es sich um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, darüber lassen sich einige Strukturaussagen machen (Lösungen der DGL bilden einen endlich-dimensionalen Vektorraum welcher Dimension?). Damit reduziert sich das Problem auf die Bestimmung einer Lösungsbasis.
18.10.2013, 08:52	hanaikun	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort schonmal. Ich weiß aber nicht, ob ich diesen Ansatz nutzen darf - über den Aufgaben steht noch folgendes: "Die beiden folgenden Aufgaben zeigen im Wesentliche folgendes: Die Lösungen der DGL $\begin{eqnarray} y'' = -y \end{eqnarray}$ bilden einen Vektorraum der Dimension 2." (die andere Aufgabe, von der die Rede ist, lautet, zu zeigen, dass alle Funktionen der angegebenen Form auch wirklich Lösungen sind - das aber nur nebenbei).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »