Problem mit Doppelsummen

17.10.2013, 21:35

sarahs.

Problem mit Doppelsummen

Meine Frage:
Guten Tag,

Ich hab momentan Probleme bei der Induktion einer Doppelsumme, daher hatte ich gehofft, dass mir hier vielleicht jemand helfen könnte.

Die Aufgabenstellung war: Finden Sie einen geschlossenen Ausdruck für die folgende Summe und beweisen Sie Ihre Vermutung durch Induktion.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (i+j-1)= n^{3} \end{eqnarray*}$

durch einsetzen von verschiedenen werten kam ich auf das n^3, ich habs dann weiterhin getestet und keinen fehler daran gefunden.

das problem ist nun allerdings, dass ich nicht weiß wie ich das bei einer doppelsumme angehen soll.

wäre schön, wenn mir das jemand erklären/zeigen könnte.. ich sitze seit stunden vor dem beispiel und.. naja.. eben gar nichts

schöne grüße und danke fürs lesen

Meine Ideen:
inzwischen hab ich leider keine mehr unglücklich

normalerweise:

A(n): $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (i+j-1)= n^{3} \end{eqnarray*}$

A(n+1): $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \sum\limits_{j=1}^{n+1} (i+j-1)= (n+1)^{3} \end{eqnarray*}$

nun komm ich aber mit den n+1 nicht mehr weiter.. ich sollte ja ansich wieder auf A(n) + so und so = (n+1)^3 kommen, aber da kommt bei mir nur blödsinn raus.. bzw. ich weiß einfach nicht wie ich bei einer doppelsumme machen muss

17.10.2013, 21:40

kgV

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RE: Problem mit Doppelsummen
Kenne ich, habe ich gerade eben erst bewiesen Big Laugh

Uni Innsbruck, Analysis 1?

Versuch mal, die erste Summe auszublenden. Wie könntest du denn $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n (i+j+n) \end{eqnarray*}$ vereinfachen? Bedenke, dass 1 und i bezüglich dieser Summe konstanten sind. Was passiert mit $\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^n 1 \end{eqnarray*}$ ?

Lg
kgV
Wink

17.10.2013, 21:55

sarahs.

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Also soweit ich weiß kann man das höchstens dadurch vereinfachen, dass man 3 summen daraus macht, oder?
also mehr oder weniger:

\sum\limits_{j=0}^n i + \sum\limits_{j=0}^n j + \sum\limits_{j=0}^n n

meintest du es so?

was \sum\limits_{a=1}^n 1 angeht.. wäre das dann nicht einfach n*1?

PS: Innsbruck is richtig! Big Laugh

Grüße

17.10.2013, 22:03

kgV

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n i + \sum\limits_{j=1}^n j - \sum\limits_{j=1}^n 1 \end{eqnarray*}$

Genau das meinte ich. Und deine Idee zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^n 1 \end{eqnarray*}$ ist auch richtig Freude

Sorry, natürlich muss am Ende eine -1 statt des n hin, da habe ich schon zu weit gedacht Und auch der Index muss 1 sein

Jetzt das einfach einmal kombinieren, dann wird die Summe wesentlich leichter zu handhaben

(PS. Formeln immer zwischen

code:
1:	[latex][/latex]

einfügen)

17.10.2013, 22:14

sarahs.

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tut mir leid wegen den formeln.. ich konnte es dann nicht mehr editieren :x

das heißt also, man kann die erste summe als n*i + n*j + n*(-1) anschreiben? also:

$\begin{eqnarray*} n*\sum\limits_{i=1}^n (i+j-1) \end{eqnarray*}$

aber in dem fall, wenn man dann wieder A(n+1) nimmt, hat man:

$\begin{eqnarray*} (n+1)*\sum\limits_{i=1}^{n+1} (i+j-1) = (n+1)^{3} \end{eqnarray*}$

wie bekommt man das n+1 dann "wieder herunter"?

17.10.2013, 22:21

kgV

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Nein, das stimmt so leider nicht...

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n i}_{=n\cdot i} + \sum\limits_{j=1}^n j - \underbrace{\sum\limits_{j=1}^n 1}_{=n} \end{eqnarray*}$

Auf die mittlere Summe kannst du die Gaußsche Summenformel anwenden, dann hast du was?

Und an die Induktion denken wir später, okay? Zunächst müssen wir uns ja noch um die erste Summe kümmern, die da imaginär noch vor dem Ganzen steht smile

17.10.2013, 22:39

sarahs.

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okay, langsam sehe ich wo das hinführt, danke :x

gaußsche summenformel wäre also:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}+1}{2} \end{eqnarray*}$

.. aaalso..

$\begin{eqnarray*} i*n + \frac{n^{2}+1}{2} - n \end{eqnarray*}$

das müsste dann die erste summe sein..

17.10.2013, 22:46

kgV

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Die Summenformel lautet $\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n}2 \end{eqnarray*}$ , aber ansonsten alles richtig.

Wir haben jetzt $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n\left(n\cdot i+\frac{n^2+n}2-n\right) \end{eqnarray*}$ Nun ist i die Variable. Auch hier kannst du in meherere Summen aufspalten. Was passiert dann mit den beiden konstanten Termen?

Wenn du noch bedenkst, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{a=1}^n a\cdot x=x\cdot\sum_{a=1}^na \end{eqnarray*}$ ist, dann müsste sich auch diese Summe erschlagen lassen

17.10.2013, 22:58

sarahs.

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okay okay.. wenn ich das jetzt alles richtig berechnet hab kommt am ende für die summe

$\begin{eqnarray*} \frac{2*n^{3} }{2} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} n^{3} \end{eqnarray*}$

17.10.2013, 23:06

kgV

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Jap. Damit hast du deine Vermutung erst mal gestützt. Jetzt solltest du dir aber eine alternative Darstellung zunutze machen: Wenn du
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n(i+j-1)=\sum_{i=0}^n\left(n\cdot i -n+\sum_{j=0}^n\right)=-n^2+\sum_{i=0}^n\left(n\cdot i+\underbrace{\sum_{j=0}^n}_{=\frac{n^2+n}2}\right)=-n^2++n\cdot\underbrace{\frac{n^2+n}2}_{=\text{Summe}}+\sum_{i=0}^nn\cdot i\\=-n^2+n\cdot\sum_{j=0}^n j +n\cdot\sum_{i=0}^n i \end{eqnarray*}$
verwendest, dann fällt dir die Induktion wesentlich leichter. Jetzt du: mach den Induktionsschritt

17.10.2013, 23:25

sarahs.

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also bei mir kommt etwas völlig falsches heraus.. kann ich, bevor ich von A(n+1) ausgehe, die summen wieder umändern in die gaußsche summenformel?

17.10.2013, 23:34

kgV

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Nein. Aber es gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}i=(n+1)+\sum_{i=1}^n i \end{eqnarray*}$

Damit gilt für den Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} -(n+1)^2+(n+1)\cdot\left(\sum_{i=1}^{n+1}i\right)+(n+1)\cdot\left(\sum_{j=1}^{n+1}j\right)=-(n+1)^2+(n+1)\cdot\left(n+1+\sum_{i=1}^n i\right)+(n+1)\cdot\left(n+1+\sum_{j=1}^n j\right)\\=(n+1)\left[-(n+1)+n+1+\sum_{i=1}^n i+n+1+\sum_{j=1}^n j\right] \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du den Gauß zum Einsatz bringen. Danach nur noch umformen, zusammenfassen und fertig. Innerhalb der eckigen Klammer solltetst du in Summe auf $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ kommen.

Jetzt muss ich mich abe rschlafen legen, sonst verschlafe ich die SL morgen glatt. Gutes Gelingen und eine ebenso gute nacht. Wenn noch Fragen auftauchen sollten, hilft dir auch sicher jemand anderes weiter.
Lg

17.10.2013, 23:38

sarahs.

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okay.. vielen, vielen dank für deine hilfe!

alleine wäre ich garantiert nie auch nur ansatzweise darauf gekommen :x

also danke!^^ und schlaf schön Big Laugh

17.10.2013, 23:40

kgV

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Du auch... Vielleicht rennen wir uns ja morgen über den Weg, ohne es zu wissen^^
Bis denn für diesen Fall smile

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