Fixpunkte einer linearen Abbildung (Matrix) bestimmen

17.10.2013, 22:03	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkte einer linearen Abbildung (Matrix) bestimmen Meine Frage: Moin, ich bins schon wieder. Ich muss echt alles neu lernen was ich seit dem ersten Semester wieder vergessen habe. Ich habe diesmal folgende Aufgabe: Seien A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -2 & -2 & -2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a : \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ die lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray} a(v) := Av, v \in \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie alle Fixpunkte von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich weiß, was ein Fixpunkt ist. Ich suche Lösungen der Form: $\begin{eqnarray} Av = v \end{eqnarray}$ . Anders ausgedrückt, suche ich die Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Irgendwie bin ich mir aber bei meiner Lösung nicht sicher. Ich habe folgendes lineares Gleichungssystem versucht zu lösen: $\begin{eqnarray} <br /> a_1 + 2a_3 = a_1<br /> 2a_1 + 3a_2 + 2a_3 + 4a_4 = a_2<br /> -a_3 = a_3<br /> -2a_1 -2a_2 -2a_3 -3a_4 = a_4<br /> \end{eqnarray}$ Das hab ich erst mal umgewandelt in folgendes System: $\begin{eqnarray} <br /> 2a_3 = 0<br /> 2a_1 + 2a_2 + 2a_3 + 4a_4 = 0<br /> -2a_3 = 0<br /> -2a_1 -2a_2 -2a_3 -4a_4 = 0<br /> \end{eqnarray}$ Daraus kann man direkt ablesen, das $\begin{eqnarray} a_3 = 0 \end{eqnarray}$ sein muss. Außerdem sind danach die 2. und die 4. Zeile ziemlich eindeutig linear abhängig und man erhält die Gleichung die noch übrig bleibt: $\begin{eqnarray} 2a_1 + 2a_2 + 4a_4 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a_1 + a_2 + 2a_4 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a_1 + a_2 = - 2a_4 \end{eqnarray}$ Sehe ich das richtig, dass ich jetzt sowohl $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ wie auch $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ frei wählen kann und nur $\begin{eqnarray} a_4 \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit davon bestimmen muss? Dann würde ich einen Vektor folgender Form erhalten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 0 \\ -x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Lösung wäre also: Fixpunkte sind alle Vektoren $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 0 \\ -x-y \end{pmatrix} \ ; \ \ x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ Ist das soweit richtig? Das wäre herrlich Gruß Martin
17.10.2013, 22:54	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig
17.10.2013, 23:19	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, danke für die Rückmeldung. Langsam komme ich wieder rein. Es macht sogar irgendwie Spaß noch mal alles neu zu lernen und immer wieder erstaunt zu sein, was man so gelernt hat damals
22.10.2016, 18:33	hansoganso	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe. Wollte nur mal nachfragen wieso du nach dem einsetzen von a3=0 in der zweiten Zeile 2a2 hast ? In der Matrix sind es in der zweiten Zeile doch 3a2 wenn mich nicht alles täuscht. Vielleicht bin ich aber auch nur ein bisschen blind Gruß
22.10.2016, 20:15	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das nirgendwo eingesetzt. Ich habe nur im Gleichungssystem dafür gesorgt, dass auf den rechten Seiten überall 0 steht. Habe also in der ersten Zeile auf beiden Seiten a1 subtrahiert, in der zweiten Zeile auf beiden Seiten a2, in der dritten a3 und in der vierten a4. Genau an dieser Stelle wird auch in der zweiten Zeile aus 3a2 (- a2) dann 2a2. Gruß Martin

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