Polynom vom Grad n Beweis

17.10.2013, 22:49

Pauline21

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Polynom vom Grad n Beweis

Meine Frage:
Guten Abend. Für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ definieren wir die Funktion

$\begin{eqnarray*} T_n:[-1,1]\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch die Vorschrift

$\begin{eqnarray*} T_n (x)=\cos (n\cdot arc\cos (x)) \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ein Polynom in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

Hinweis: Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus können hier sehr hilfreich sein, möglicherweise benötigen Sie auch: $\begin{eqnarray*} \sin (a) \sin (b) =\frac 12 (\cos (a-b)-\cos (a+b)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ein Polynom ist ja eine Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichen Exponenten. Ich finde jedoch keinen Ansatz, wie ich dies zeigen soll? Anhand von vollständiger Induktion? Dankeeee

17.10.2013, 22:57

Helferlein

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Induktion ist schon mal ein gutes Stichwort.

17.10.2013, 23:04

Pauline21

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RE: Polynom vom Grad n Beweis
Okay danke für die Bestätigung Helferlein.

Dann mal der Induktionsanfang für n=1

Aber wie erhalte ich hier die wahre Aussage? Greifen jetzt schon die Additionstheoreme ins Geschehen ein?

18.10.2013, 07:00

Helferlein

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Nein.
Du musst zeigen, dass cos (arccos (x)) ein Polynom ersten Grades ist und das sollte nicht schwer fallen.

18.10.2013, 09:12

Pauline21

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RE: Polynom vom Grad n Beweis
Aber $\begin{eqnarray*} (arc\cos (x))^1 \end{eqnarray*}$ ist doch ein Polynom ersten Grades? Wie und wo soll ich hier denn Beweis dazu liefern?

18.10.2013, 16:35

Helferlein

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Seit wann ist arccos(x) ein Polynom verwirrt

verwirrt

Vielleicht solltest Du noch einmal die Definition eines Polynoms nachschlagen. Beachte dabei, dass hier nicht von trigonometrischen Polynomen oder ähnlichem die Rede ist.

Man spricht nur dann von einer Polynomfunktion, wenn p die Gestalt $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{k=0}^n~a_kx^k \end{eqnarray*}$ hat.

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19.10.2013, 00:00

Pauline21

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Zitat:

Original von Helferlein
Man spricht nur dann von einer Polynomfunktion, wenn p die Gestalt $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{k=0}^n~a_kx^k \end{eqnarray*}$ hat.

Ja und wie soll dann bitte $\begin{eqnarray*} \cos (n\cdot arc\cos(x)) \end{eqnarray*}$ ein Polynom sein? Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \cos (n\cdot arc\cos(x)) \end{eqnarray*}$ ein Polynom ersten Gerades ist. Das soll bekanntlich nicht schwer fallen verwirrt

verwirrt

Doch irgendwie kann ich die Polynomform, die du angegeben hast nicht wirklich auf $\begin{eqnarray*} \cos (n\cdot arc\cos(x)) \end{eqnarray*}$ übertragen, bzw. sie ist doch nicht von dieser Gestalt?

19.10.2013, 01:05

Helferlein

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Ist Dir denn inzwischen klar, wieso T1ein Polynom vom Grad 1 ist?

19.10.2013, 09:52

Pauline21

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Zitat:

Original von Helferlein
Ist Dir denn inzwischen klar, wieso T1ein Polynom vom Grad 1 ist?

Nach meiner letzten Antwort, wohl eher noch nicht 100%-tig.

$\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{k=0}^n~a_kx^k \end{eqnarray*}$ (Polynomfunktionsform)

Meine Funktionen: $\begin{eqnarray*} T_n (x)=\cos (n\cdot arc\cos (x)) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ muss bei meiner Funktion der $\begin{eqnarray*} \cos (..) \end{eqnarray*}$ sein, was ich jedoch meines Erachtens die Polynomfunktionsform, nicht wirlklich gänzlich widerspiegelt. Das Argument vom $\begin{eqnarray*} \cos(...) \end{eqnarray*}$ muss dann das $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ sein.

Für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich ja: $\begin{eqnarray*} T_1 (x)=\cos (1\cdot arc\cos (x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \cdot k \end{eqnarray*}$ (Polynomfunktionsform für n=1)

Okay jetzt sieht man es besser wieso es doch eine Polynomfunktionsform hat, eine schnelle Wendung Prost

Prost

(Tee)

Ich weiß jedoch immer noch nicht wie ich den I.A. zeigen soll und den Rest? Über den Hinweis habe ich mir auch Gedanken gemacht, aber momentan weiß ich nicht weiter.

19.10.2013, 10:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} a \cdot k \end{eqnarray*}$ (Polynomfunktionsform für n=1)

Erstaunt1

- was soll dies jetzt bedeuten?

Seit vielen Beiträgen wird nun hier um folgenden heißen Brei geschlichen, ich beende das mal kurzerhand:

Es ist $\begin{eqnarray*} \cos(1\cdot \arccos(x)) = \cos(\arccos(x)) = x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ , einfach weil $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ ist.

Demnach ist $\begin{eqnarray*} T_1(x)=x \end{eqnarray*}$ , was offensichtlich eine Polynomfunktion ersten Grades ist.

19.10.2013, 11:36

Pauline21

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} a \cdot k \end{eqnarray*}$ (Polynomfunktionsform für n=1)

Erstaunt1

- was soll dies jetzt bedeuten?

Ich hab versucht anhand der Polynomfunktionsform zu argumentieren, wieso es eine Polynomfunktion ersten gerades ist. Dass es missglückt ist liegt dann schon in der Intelligenzabteilung des Schöpfers.

Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist $\begin{eqnarray*} \cos(1\cdot \arccos(x)) = \cos(\arccos(x)) = x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$

Und wieso ist das gleich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Das kommt mir sehr überraschend.

19.10.2013, 11:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pauline21
Und wieso ist das gleich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Das kommt mir sehr überraschend.

Vielleicht mal den obigen Satz zuende lesen:

Zitat:

Original von HAL 9000
einfach weil $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ ist.

19.10.2013, 13:28

Pauline21

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Stimmt. Ohje sry. Das ist ja wie $\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)}=x \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x^1 \end{eqnarray*}$ ein Polynom ersten Gerades. Ich frage mich gerade was denn dann $\begin{eqnarray*} \cos (2 \cdot arc \cos(x)) \end{eqnarray*}$ wäre?

Bzw. wie ich $\begin{eqnarray*} \cos (n \cdot arc \cos(x)) \end{eqnarray*}$ umformen könnte?

19.10.2013, 13:45

HAL 9000

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Das ist dann nicht mehr ganz so einfach. Wir schreiben erstmal

$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \cos(n\varphi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi=\arccos(x) \end{eqnarray*}$ .

Nun ermöglichen es die Additionstheoreme, den in $\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ auftauchenden Ausdruck $\begin{eqnarray*} \cos((n+1)\varphi) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \cos((n-1)\varphi) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ selbst auszudrücken - Ziel ist eine Rekursionsgleichung. Dabei ist der obige Hinweis "Additionstheoreme" nützlich, konkret

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

Addiert man beide, so landet man bei

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha)\cos(\beta) \end{eqnarray*}$

also nur noch mit Kosinus-Ausdrücken (wie hier bei uns), d.h. ohne "lästige" Sinusterme. Jetzt mal angestrengt nachdenken, welche $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ man hier günstig verwenden sollte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.10.2013, 09:17

Pauline21

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Zitat:

Original von HAL 9000
also nur noch mit Kosinus-Ausdrücken (wie hier bei uns), d.h. ohne "lästige" Sinusterme. Jetzt mal angestrengt nachdenken, welche $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ man hier günstig verwenden sollte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ich habe jetzt alles nachvollziehen können, bis auf das komplette Verständnis bzw. den Bezug zur vollständigen Induktion.

$\begin{eqnarray*} \cos (0)=1 \end{eqnarray*}$ wäre ja mal was. Aber wieso wählen jetzt? Ok. Wir müssen irgendwelche Werte annehmen sonst wird es kritisch. verwirrt

verwirrt

20.10.2013, 10:32

Helferlein

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Schreib doch mal hin, was im Induktionsschritt zu zeigen ist. Ich vermute nämlich, dass Du genau wie bei dem Induktionsanfang etwas grundlegendes nicht erfasst hast.

20.10.2013, 12:05

Pauline21

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Im Induktionsschritt wird $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$ bzw. der Beweis der Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray*} T_{n+1} (x) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} T_{n}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_n (x)=\cos (n\cdot arc\cos (x)) \rightarrow T_{n+1} (x)=\cos ((n+1)\cdot arc\cos (x))=\cos (n\cdot arc\cos (x)+arc\cos (x)) \end{eqnarray*}$

Bzw. mit der Notation von HAL 9000 lautet es:

$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \cos(n\varphi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi=\arccos(x) \end{eqnarray*}$

Also im Induktionschritt:

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) = \cos(n\varphi+\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi + \varphi) = \cos(n \varphi)\cos(\varphi) - \sin(n \varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

Mir ist jedoch unklar, wie aus meiner Gleichung $\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) = \cos(n\varphi+\varphi) \end{eqnarray*}$ auf einmal zwei Gleichungen werden, die man addiert? Ich meine man ändert dann die Gleichung um im Argument des $\begin{eqnarray*} \cos(...) \end{eqnarray*}$ wird eine Subtraktion gemacht. Ich bin daher ziemlich verwirrt, wie es dazu kommt.

Daher habe ich Probleme bei der weiteren Ausführung

verwirrt

Um Helferleins Vermutung zu widerlegen, dass ich das Grundlegende nicht erfasst habe, kann ich zum Induktionsschritt sagen, dass unser Ziel im Induktionschritt ist, diese so umzuformen, dass wir unsere Induktionsbehauptung dort verwenden können, um den Beweis zu vollenden. Das Prinzip ist mir also klar. Lehrer

Lehrer

Augenzwinkern

20.10.2013, 12:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi + \varphi) = \cos(n \varphi)\cos(\varphi) - \sin(n \varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

Richtig, und ich hatte es oben schon angedeutet: Außer dieser Gleichung eben solltest du auch noch

$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi - \varphi) = \cos(n \varphi)\cos(\varphi) + \sin(n \varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

in deine Überlegungen einbeziehen mit dem Ziel, die Sinusterme zu eliminieren.

20.10.2013, 12:13

Pauline21

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Ja stimmt HAL 9000. Ich grüble jedoch wie ich in den fortlaufenden Prozess des Beweises die Gleichung einbinden soll? Ich könnte wie bei einer Gleichung, auf beiden Seiten mit dem $\begin{eqnarray*} \cos (n\varphi - \varphi) \end{eqnarray*}$ multiplizieren, ich wüsste jedoch nicht was auf der "anderen" Seite geschehen soll bzw. wo diese sein soll? Bzw. dann habe ich ja dort ein Problem, daher verwirrt

verwirrt

weiß ich nicht.

20.10.2013, 12:18

HAL 9000

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Die Summe der beiden liefert

$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi + \varphi) + \cos(n\varphi - \varphi) = 2\cos(n \varphi)\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Nun versuche doch mal, alle Kosinusterme durch deine $\begin{eqnarray*} T_k(x) \end{eqnarray*}$ zu ersetzen, natürlich mit mehreren verschiedenen Indizes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

20.10.2013, 13:21

Pauline21

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nun versuche doch mal, alle Kosinusterme durch deine $\begin{eqnarray*} T_k(x) \end{eqnarray*}$ zu ersetzen, natürlich mit mehreren verschiedenen Indizes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 2\cos(n \varphi)\cos(\varphi)=2 T_k(x)\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ . So macht es ja kein Sinn.

Mit mehreren Indizes $\begin{eqnarray*} T_k(x) \end{eqnarray*}$ ? Verstehe nicht genau was du meinst

$\begin{eqnarray*} 2\cos(n \varphi)\cos(\varphi)=2 T_k(n)\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

Aber wie ich den zweiten Kosinus ersetzen soll verwirrt

verwirrt

?

20.10.2013, 13:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} 2\cos(n \varphi)\cos(\varphi)=2 T_k(x)\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ . So macht es ja kein Sinn.

Macht es auch nicht, sondern

$\begin{eqnarray*} 2\cos(n \varphi)\cos(\varphi)=2 T_n(x)\cos(\varphi) = 2T_n(x) x \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich habe ich kein pädagogisches Talent, Hinweise so zu formulieren, dass du sie auch verstehst - eigentlich sollte dich mein Hinweis auf

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2xT_{n}(x) \end{eqnarray*}$

lenken. unglücklich

unglücklich

20.10.2013, 13:46

Pauline21

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} 2\cos(n \varphi)\cos(\varphi)=2 T_n(x)\cos(\varphi) = 2T_n(x) x \end{eqnarray*}$ .

Sry so sollte auch meine zweite Antwort heißen, das n ist mir falsch ins Argument verrutscht. Hammer

Hammer

Zitat:

Original von HAL 9000
Offensichtlich habe ich kein pädagogisches Talent, Hinweise so zu formulieren, dass du sie auch verstehst - eigentlich sollte dich mein Hinweis auf

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2xT_{n}(x) \end{eqnarray*}$

lenken. unglücklich

unglücklich

Kommunikation ist so eine schwere Sache. Man kann vieles verstehen, aber das dann noch präzise und verständlich dem anderen klarmachen ist eine weitere Kunst. Es gehören aber immer zwei dazu Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Absender kann sich besser ausdrücken und der Empfänger sollte genauer lesen und sich in die Worte hineinversetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 2 T_n(x)\cos(\varphi) = 2T_n(x) x \end{eqnarray*}$ dieser Sachverhalt ist mir klar.

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2xT_{n}(x) \end{eqnarray*}$ dieser hingegen noch nicht verwirrt

verwirrt

.

20.10.2013, 13:51

HAL 9000

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Wenn man in

$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \cos(n\varphi) \end{eqnarray*}$

statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) = \cos((n+1)\varphi) = \cos(n\varphi + \varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{n-1}(x) = \cos((n-1)\varphi) = \cos(n\varphi - \varphi) \end{eqnarray*}$ .

@Helferlein

Bitte übernimm mal wieder, bin gleich weg.

20.10.2013, 14:02

Pauline21

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Summe der beiden liefert

$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi + \varphi) + \cos(n\varphi - \varphi) = 2\cos(n \varphi)\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

Okay mir ist aber noch immer nicht ganz klar, wie man zu der Summe kommt verwirrt

verwirrt

? Wie man das davor addiert, also die beiden Gleichungen.

20.10.2013, 14:09

HAL 9000

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Du stellst meine Geduld auf eine harte Probe: Bereits gestern hatte ich

Zitat:

Original von HAL 9000
Nun ermöglichen es die Additionstheoreme, den in $\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ auftauchenden Ausdruck $\begin{eqnarray*} \cos((n+1)\varphi) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \cos((n-1)\varphi) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ selbst auszudrücken - Ziel ist eine Rekursionsgleichung. Dabei ist der obige Hinweis "Additionstheoreme" nützlich, konkret

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

Addiert man beide, so landet man bei

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha)\cos(\beta) \end{eqnarray*}$

geschrieben. Ist es denn wirklich so schwer einzusehen, dass die beiden linken Seiten addiert dasselbe ergibt wie die beiden rechten Seiten addiert? unglücklich

unglücklich

P.S.: Nach diesem Beitrag gestern hast du übrigens mit

Zitat:

Original von Pauline21
Also ich habe jetzt alles nachvollziehen können, bis auf das komplette Verständnis bzw. den Bezug zur vollständigen Induktion.

geantwortet. Im jetzigen Kontext kann ich dazu nur sagen: Ziemlich unaufrichtig. Finger2

Finger2

20.10.2013, 15:15

Pauline21

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du stellst meine Geduld auf eine harte Probe: Bereits gestern hatte ich

Zitat:

Original von HAL 9000
Nun ermöglichen es die Additionstheoreme, den in $\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ auftauchenden Ausdruck $\begin{eqnarray*} \cos((n+1)\varphi) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \cos((n-1)\varphi) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \cos(\varphi) \end{eqnarray*}$ selbst auszudrücken - Ziel ist eine Rekursionsgleichung. Dabei ist der obige Hinweis "Additionstheoreme" nützlich, konkret

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

Addiert man beide, so landet man bei

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha)\cos(\beta) \end{eqnarray*}$

geschrieben. Ist es denn wirklich so schwer einzusehen, dass die beiden linken Seiten addiert dasselbe ergibt wie die beiden rechten Seiten addiert? unglücklich

unglücklich

Ja genau. Nur wie kommt es dazu. "Was war davor"? Siehe nächstes Zitat:

Zitat:

Original von Pauline21
$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \cos(n\varphi) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi=\arccos(x) \end{eqnarray*}$

Also im Induktionschritt:

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) = \cos(n\varphi+\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi + \varphi) = \cos(n \varphi)\cos(\varphi) - \sin(n \varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

Mir ist jedoch unklar, wie aus meiner Gleichung $\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) = \cos(n\varphi+\varphi) \end{eqnarray*}$ auf einmal zwei Gleichungen werden, die man addiert? Ich meine man ändert dann die Gleichung um im Argument des $\begin{eqnarray*} \cos(...) \end{eqnarray*}$ wird eine Subtraktion gemacht. Ich bin daher ziemlich verwirrt, wie es dazu kommt.

Was jetzt gemacht wird ist doch bei $\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi + \varphi) = \cos(n \varphi)\cos(\varphi) - \sin(n \varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} +\cos(n\varphi - \varphi) \end{eqnarray*}$ wobei auf der rechten Seite nutzen wir die Gleichheit aus und schreiben

$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi - \varphi) = \cos(n\varphi)\cos(\varphi) + \sin(n\varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi + \varphi)+\cos(n\varphi - \varphi)=\cos(n \varphi)\cos(\varphi) - \sin(n \varphi)\sin(\varphi)+\cos(n\varphi)\cos(\varphi) + \sin(n\varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2\cos(n \varphi)\cos(\varphi)=2 T_n (x) \cdot x \end{eqnarray*}$

Edit(Helferlein): Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite zu verhindern.

Das war mir unklar wie das zu Stande kommt, aber das habe ich ja jetzt selbst mittlerweile herausgefunden, obwohl es mir schon vorher gesagt wurde, ich habe es nur nicht realisiert. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Nach diesem Beitrag gestern hast du übrigens mit

Zitat:

Original von Pauline21
Also ich habe jetzt alles nachvollziehen können, bis auf das komplette Verständnis bzw. den Bezug zur vollständigen Induktion.

geantwortet. Im jetzigen Kontext kann ich dazu nur sagen: Ziemlich unaufrichtig. Finger2

Finger2

Ja die einzelnen Schritt verstand ich ja, einigermaßen doch der Zusammenhang war mir nicht ganz klar. Jetzt ist's klar. Q.E.D.

20.10.2013, 17:25

Pauline21

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$\begin{eqnarray*} 2\cos(n \varphi)\cos(\varphi)=2 T_n (x) \cdot x \end{eqnarray*}$

Ich frage mich aber dennoch ob ich jetzt mit dem Beweis durch bin? verwirrt

verwirrt

Irgendwie ist das doch nicht die Endlösung. Die Lösung müsste doch die Induktionsbehauptung sein mit eingesetzem n+1 nur?

20.10.2013, 17:32

Helferlein

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Denk mal darüber nach, was für Polynome in der Gleichung $\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2xT_{n}(x) \end{eqnarray*}$ stecken

20.10.2013, 17:52

Pauline21

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$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x) = \cos((n+1)\varphi)+\cos((n-1)\varphi) = \cos(n\varphi + \varphi)+\cos(n\varphi - \varphi) \end{eqnarray*}$

Ist ziemlich schwer, wenn man nur die Langform der Additionstheoreme hat verwirrt

verwirrt

20.10.2013, 18:35

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist bei Induktion und hast oben doch schon die zu zeigende Aussage erfasst.
Warum nutzt Du sie dann nicht?

Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad (n+1) ist.
$\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ist ein ....
$\begin{eqnarray*} T_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist ein ...

Dann noch in die Gleichung einsetzen und fertig. Warum klammerst Du Dich immer an die Definition?

20.10.2013, 20:14

Pauline21

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
Du bist bei Induktion und hast oben doch schon die zu zeigende Aussage erfasst.
Warum nutzt Du sie dann nicht?

Weil ich dazu ein Händchen habe unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Helferlein

Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad (n+1) ist.
$\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ist ein ....
$\begin{eqnarray*} T_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist ein ...

Dann noch in die Gleichung einsetzen und fertig. Warum klammerst Du Dich immer an die Definition?

Ich weiß es nicht vllt, weil ich es nicht wahrnehme. Aber was soll ich denn noch in die Gleichung einsetzen?

20.10.2013, 20:39

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich die Sätze wohl selber vollenden unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom vom Grad n
$\begin{eqnarray*} T_{n-1} \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom vom Grad (n-1)

Was folgt dann mit Hilfe der Gleichung von HAL für den Grad von $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

20.10.2013, 20:46

Pauline21

Auf diesen Beitrag antworten »

Dies folgt:

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) = \cos(n\varphi+\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(n\varphi + \varphi) = \cos(n \varphi)\cos(\varphi) - \sin(n \varphi)\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

Ich habe angenommen, dass es eine rhetorische Frage war...

20.10.2013, 20:56

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber ich bin mit meinem Latein am Ende.
Wenn die eindeutigsten Tips nicht helfen, weiss ich auch nicht, wie ich Dir weiterhelfen soll.
Falls es noch jemand anderes versuchen will, nur zu.

20.10.2013, 21:05

Pauline21

Auf diesen Beitrag antworten »

...

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2xT_{n}(x) \end{eqnarray*}$

Was soll ich denn damit machen ich habe einfach keine Idee, wenn ich es wüsste dann hätte ich es schon längst gemacht. Mit "Was folgt dann mit Hilfe der Gleichung von HAL für den Grad von $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ " kann ich nicht wirklich viel anfangen.

20.10.2013, 22:22

Pauline21

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
Was folgt dann mit Hilfe der Gleichung von HAL für den Grad von $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

Das der Grad n+1 ist, aber was sagt hilft mir das? Ich bin mit dem Latein auch am Ende...

20.10.2013, 22:31

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Was solltest Du doch gleich zeigen?
Lies Dir die Aufgabe noch einmal genau durch und vergleiche mit dem, was Du gerade herausgefunden hast.

20.10.2013, 22:37

Pauline21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir alles nochmal durchgelesen, aber diese $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} T_n(x) \end{eqnarray*}$ das ist doch noch ein Störfaktor verwirrt

verwirrt

20.10.2013, 22:43

HAL 9000

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Kurzer Einwurf für Pauline21: Es wäre vielleicht ganz nützlich, sich wenigstens mal die ersten paar dieser sog. Tschebyscheff-Polynome (um mal namensmäßig die Katze aus dem Sack zu lassen) mit der eben ermittelten Rekursion konkret zu berechnen. Ich habe nämlich den Eindruck, dass dir jedes Gefühl dafür fehlt, wie die so ungefähr aussehen könnten:

$\begin{eqnarray*} T_0(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_1(x) = x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_2(x) = 2xT_1(x)-T_0(x) = 2x^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_3(x) = 2xT_2(x)-T_1(x) = 4x^3-3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_4(x) = 2xT_3(x)-T_2(x) = 8x^4-8x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_5(x) = 2xT_4(x)-T_3(x) = 16x^5-20x^3+5x \end{eqnarray*}$

usw.

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