Gruppe ungerader Ordnung: aba=b => a=e

18.10.2013, 15:06

mathsguy

Gruppe ungerader Ordnung: aba=b => a=e

Hallo

ich habe eine Aufgabe von der ich nicht weiss wie ich damit anfangen soll, habe verschiedenes probiert aber alles führt nicht zum Ziel.

Sei G eine Gruppe ungerader Ordnung.
Seien a,b,c aus G.

zeige
1) gilt aba=b, dann ist a=e.
2)ist abcba=c, dann ist ab=e.

vielen dank

18.10.2013, 15:45

micha_L

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RE: Gruppe ungerader Ordnung: aba=b => a=e
Hallo,

Zitat:

Original von mathsguy
[...]
Sei G eine Gruppe ungerader Ordnung.
Seien a,b,c aus G.

zeige
1) gilt aba=b, dann ist a=e.
2)ist abcba=c, dann ist ab=e.
[...]

Wie ist die Aufgabe genau formuliert? Steht dort ein Quantor in 1)?
Will sagen: Heißt die Aufgabe: Gibt es ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} aba=b \end{eqnarray*}$ gilt, so ist $\begin{eqnarray*} a=e \end{eqnarray*}$ ?
Oder der andere? Wenn für alle $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} aba=b \end{eqnarray*}$ gilt, so ist $\begin{eqnarray*} a=e \end{eqnarray*}$ ?

Mfg Michael

EDIT: Ups, falsche Gleichungen...

18.10.2013, 15:50

HAL 9000

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Zunächst mal zu 1):

Hier kannst du durch Vollständige Induktion $\begin{eqnarray*} ab^{2n+1}a = b^{2n+1} \end{eqnarray*}$ beweisen.

Im Zusammenhang mit der ungeraden Gruppenordnung dürfte dies hilfreich sen. Augenzwinkern