Primideale in Polynomringen

18.10.2013, 17:23

Spitzname:

Primideale in Polynomringen

Meine Frage:
Hi,

ich habe den Polynomring über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]:=\left\{\sum_{i=0}^na_iX^i:n\in\mathbb{N},a_i\in\mathbb{Q}\right\} \end{eqnarray*}$ vorliegen.

Ferner ist das Hauptideal $\begin{eqnarray*} I:=(X^2-d) \end{eqnarray*}$ mit der quadratfreien Zahl $\begin{eqnarray*} 1\ne d\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Es soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein Primideal ist.

Meine Ideen:
Nun denn, $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist ein Primideal, wenn für alle $\begin{eqnarray*} f,g\in\mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} fg\in I \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f\in I \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} g\in I \end{eqnarray*}$ gilt.

Seien also $\begin{eqnarray*} f,g\in\mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} fg\in I \end{eqnarray*}$ , d.h.: $\begin{eqnarray*} fg=(X^2-d)*\varphi \end{eqnarray*}$ , für ein $\begin{eqnarray*} \varphi\in\mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt komme ich schon nicht weiter. Eventuell mit dem Grad der Polynome argumentieren? Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Gruß
Spitzname:

18.10.2013, 17:41

Captain Kirk

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Hallo,

die Primideal-Eigenschaft direkt mit der Definition zu zeigen ist fast immer unnötig kompliziert.

Vorschlag 1: Zeige f=X²-d ist irreduzibel, und damit auch prim da der Ring ein HIR ist.

Vorschlag 2: Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/I \cong Q (\sqrt{d}) \end{eqnarray*}$ . Es genügt sogar, dass der linke Ring Unterring des rechten ist.

18.10.2013, 18:45

Spitzname:

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Hi,

wir haben erst heute mit dem Thema Ideale angefangen, daher habe ich noch meine Schwierigkeiten. Warum genügt es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X]/I \end{eqnarray*}$ Unterring von $\begin{eqnarray*} Q (\sqrt{d}) \end{eqnarray*}$ ist?

18.10.2013, 19:07

Captain Kirk

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Es gilt:
Ist $\begin{eqnarray*} I \subseteq R \end{eqnarray*}$ ein Ideal so ist
I ist prim, genau dann wenn R/I ein Int.ring ist.
Unterringe von Körpern sind Int.ringe.

Man könnte noch folgendermaßen direkt vorgehen, indem man zeigt:
Ist $\begin{eqnarray*} f\in \mathbb Q [X] \end{eqnarray*}$ so gilt $\begin{eqnarray*} (X^2-d)|f \end{eqnarray*}$ , wobei mir dafür nichts schönes elementares einfällt.

19.10.2013, 11:23

Spitzname:

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Okay, es gilt also: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ ist kommutativ. $\begin{eqnarray*} I\unlhd \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist Primideal $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X]/I \end{eqnarray*}$ ist Integriätsbereich.

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ kommutativ ist, ist auch $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ kommutativ. Es bleibt also nur die Nullteilerfreiheit zu zeigen. Wie mache ich das? Nach Definition? Nehme ich mir zwei Elemente $\begin{eqnarray*} \alpha +I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta +I \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in\mathbb[Q]/I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\alpha +I)(\beta +I)=0 \end{eqnarray*}$ und zeige dann, dass entweder $\begin{eqnarray*} \alpha +I=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \beta +I=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss?

Ich denke, dass ich in jedem Fall irgendwo ausnutzen muss, dass $\begin{eqnarray*} X^2-d \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X) \end{eqnarray*}$ besitzt.

Kannst du mir weiterhelfen?

19.10.2013, 15:53

Spitzname:

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Ich würde es jetzt wie folgt machen: Seien $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in\mathbb{Q}[x]/I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha\beta =0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} -\infty =grad(\alpha\beta )=grad(\alpha )+grad(\beta )\Rightarrow grad(\alpha )=-\infty\vee grad(\beta )=-\infty\Rightarrow\alpha =0\vee\beta =0 \end{eqnarray*}$

Bitte sagt mir kurz, ob das so in Ordnung ist und ob ich sonst noch etwas zeigen muss. Ich danke euch vorab,

Gruß
Spitzname

19.10.2013, 17:19

Spitzname:

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Ok, bitte macht den Thread zu, ich werde die Frage an anderer Stelle stellen. Trotzdem vielen Dank.

20.10.2013, 15:15

Captain Kirk

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Zitat:

Original von Spitzname:
Ich würde es jetzt wie folgt machen: Seien $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in\mathbb{Q}[x]/I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha\beta =0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} -\infty =grad(\alpha\beta )=grad(\alpha )+grad(\beta )\Rightarrow grad(\alpha )=-\infty\vee grad(\beta )=-\infty\Rightarrow\alpha =0\vee\beta =0 \end{eqnarray*}$

Das ist so nicht in Ordnung.
Grad ist auf diesem Ring nicht wohldefiniert, ferner gilt deg(fg)=deg(f)+deg(g) auch nur in Polynomringen über Integritätsringen, was hier auch nicht der Fall ist.

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